對一道課本例題的多解探究及教學反思

☉廣東省珠海市第十中學 王淑艷

學習“多邊形的內(nèi)角和”時，一次不經(jīng)意的放手竟有意想不到的收獲，也引發(fā)了我對課堂教學的一點思考.

按教學計劃，學習了三角形內(nèi)角和定理之后，接著要探索多邊形內(nèi)角和公式，我先引出問題：請同學們探討四邊形內(nèi)角和等于多少度.想到方法的同學將解法寫在黑板上.我沒有給任何提示就讓學生自己開始嘗試解決.

一、相關知識回顧

結論：任意三角形內(nèi)角和等于180°.

證明方法1：對于任意△ABC，過點A作DE∥BC.

則∠B=∠BAD，∠C=∠CAE.

同時∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°.

則∠BAC+∠B+∠C=180°.（得證）

證明方法2：對于任意△ABC，作過點A的直線DE.過點C作FG∥DE，過點B作MN∥DE.

則DE∥FG∥MN.

故∠ACP=∠CAE，∠APC=∠PAD，∠BPC=∠PBM，∠PCB=∠CBN，且∠APC+∠BPC=∠APB=180°.

同時∠PAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°，∠PBM+

∠ABC+∠CBN=∠MBN=180°.

則∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠DAE+∠MBN-

∠APB=180°.

圖1

圖2

二、解法預設

圖3

備課時我根據(jù)之前的教學經(jīng)驗及常規(guī)解法，估計學生可能會有以下幾種方法：

（1）將四邊形分成兩個三角形，如圖3所示；

（2）在一邊上選一個點與不相鄰的頂點連接，將四邊形分成三個三角形，將這三個三角形內(nèi)角和相加后減去多余的平角即可，如圖4所示.

圖4

圖5

（3）在四邊形內(nèi)部任意選一點，與四個頂點連接，將四邊形分成四個三角形，將這四個三角形內(nèi)角和相加后減去中間的周角即可，如圖5所示.

（4）在四邊形外部任意選一點，與四個頂點連接，將四邊形分成四個三角形△APD、△CPD、△BCP，再將這三個三角形內(nèi)角和相加后減去△ABP的內(nèi)角和即可，如圖6所示.

即把四邊形分割為三角形，通過三角形內(nèi)角和推算出四邊形內(nèi)角和.分割的方法有直接連接一條對角線，還可以任選一個點與四邊形四個頂點連接，形成若干個三角形，當然，這個點的選取可以在四邊形的一條邊上，也可以在四邊形的內(nèi)部或者外部.

圖6

三、課堂實錄

我本以為自己準備得很充分，用預設方法去求四邊形內(nèi)角和也是非常自然的事情，誰知學生經(jīng)過討論后，開始往黑板上寫他們的解法時，我才發(fā)現(xiàn)自己忽略了一些很重要的東西，就是我們剛剛學習了“相交線與平行線”及三角形的有關知識，我沒有提前預見到學生會利用剛學的知識解決今天的問題！

他們除了用到解法預設中的第一種解法，其他方法不能不說還是非常精彩的.簡述如下：

圖7

解法1：（如圖7所示）連接AC、BD交于點O.

因 為∠AOB=∠DAO+∠ADO，∠AOD=∠DCO+∠CDO，∠DOC=∠CBO+∠OCB，∠COB=∠BAO+∠ABO，所以∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠COB=∠DAO+∠ADO+∠DCO+∠CDO+∠CBO+∠OCB+∠BAO+∠ABO，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°.

（利用外角來解）

解法2：（如圖8所示）過點C作CE∥AD，交AB于點E.

則∠A+∠1=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠1+∠D+∠DCE=360°.

又因為∠1=∠B+∠BCE，所以∠A+∠B+∠BCE+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°.

解法3：（如圖9所示）過點C作CE∥AD，交AB于點E，過點B作BF∥AD.

則∠A+∠ABF=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠ABF+∠D+∠DCE=360°.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠D+∠DCE=360°.

因為CE∥AD，BF∥AD，所以CE∥BF，所以∠1=∠2.

所以∠A+∠ABC+∠2+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°.

解法4：（如圖10所示）延長AB、DC交于點O.

因為∠A+∠D+∠O=180°，∠ABC+∠CBO=180°，∠DCB+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠O+∠ABC+∠CBO+∠DCB+∠BCO=540°.

又因為∠OBC+∠O+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°.

（這種方法僅適用于四邊形有一組對邊延長能相交的情形）

解法5：（如圖11所示）對于任意四邊形ABCD，過點A作直線EF，過點B作GH∥EF，交AD于點P，過點D作IJ∥EF，交BC于點Q，過點C作MN∥EF.

則EF∥GH∥IJ∥MN；

∠ABP=∠BAF，∠PAE=∠APB=∠ADQ；

∠QDC=∠DCM，∠QCN=∠CQD=∠CBP.

同時∠PAE+∠DAB+∠BAF=∠EAF=180°，∠DCM+∠DCQ+∠QCN=∠MCN=180°.

則∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=∠EAF+∠MCN=360°.

四、教學反思

1.鼓勵學生大膽嘗試

如果一開始我就用準備好的方法教學生如何得到四邊形的內(nèi)角和，可能就抹殺了學生如此有靈感的證明.學生的證法中雖然第2、3、4種證明方法不能適用于所有四邊形，但他們靈活使用學過的知識解決問題的意識還是值得表揚的.可以注意到，學生剛接觸幾何證明，思路可能還比較單一，他們只能借助剛學的知識解決問題，條理性和嚴密性還需要進一步加強，而我們作為老師，可以換位思考一下，學生初次看到這些問題可能與之前的知識有怎樣的聯(lián)想，以幫助我們了解學生的思考方向，對于我們把握學生的思路很有幫助，對他們思路中可能出現(xiàn)的漏洞也有所預見.

2.引導學生大膽質(zhì)疑

實際上，按照學生現(xiàn)有的知識，他們沒有意識到他們解題過程中存在的問題，例如，學生的第2、3、4種解法，并不是適用于任意四邊形，可以引發(fā)學生思考：為什么這種方法不適用于任意四邊形？哪些四邊形不能用呢？引導學生思考特殊四邊形，找到證明過程的疏漏，為今后學習打下基礎.

3.培養(yǎng)學生合作探究的意識

數(shù)學解法，尤其幾何證明通常不止一種方法，讓學生通過合作探究解決數(shù)學問題，不僅培養(yǎng)學生自主學習的能力，還提高了交流能力，培養(yǎng)了解決問題的主動性，養(yǎng)成不依賴老師的學習習慣.同時，與同學探究的過程，對知識進行了一次有效的梳理，拓寬了思維方式.

4.培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，形成和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)

提出問題，充分地讓學生思考，不僅培養(yǎng)了學生獨立思考、解決問題的能力，同時通過老師對他們的解法進行點評及完善，養(yǎng)成嚴密的邏輯推理能力.在教學過程中，注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，有利于提高學生研究事物本源的能力，真正提升學生的綜合素養(yǎng).

因此，我們在備課過程中，不能單憑經(jīng)驗或者固定的解題方法去預設學生的解法，多點機會讓他們表達自己的想法，通過共同探究去培養(yǎng)學生多方面的能力.放手把課堂交給學生，讓他們在不成熟中慢慢成熟起來.