靈活“構造圓”，巧妙來解題

☉河南省西平縣基礎教育教研室 郭長軍

在解決數學幾何問題時，我們通常想到的解決方法是由問題的條件到相應問題的結論之間的定向思考，但是對于某些問題采用這樣的思考方式來解顯得比較困難，甚至無從著手，在這種情況下，我們不妨改變一下思維策略，尋找一個中間橋梁，以此尋到一條繞過障礙的新途徑.例如，對于已知某些幾何問題中給出直角三角形的斜邊固定不變，而直角頂點時刻在運動變化；或給出幾個點到某一個定點的距離相等；或給出一個等腰三角形繞著其中一個角的頂點旋轉；亦或給出兩個公用斜邊的直角三角形等問題，我們可以通過構造圓，巧妙地利用圓的有關知識及已學過的其他數學知識把問題解決.在運用構造圓的方法解題時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造，二要弄清楚問題的特點，以便依據特點，實施構造.通過以下幾個具體典例，可以嘗試從中總結規律，提高自己運用構造圓的方法解決實際問題的能力.下面我初步談一談可以構造圓的幾種常見類型：

一、如果遇到直角三角形的斜邊不變，而直角頂點時刻發生變化的直角三角形，可以構造以斜邊為直徑的圓

圖1

典例分析1：（2013武漢）如圖1，已知正方形ABCD中，AB=2，E、F是AD上的動點，且AE=DF，連接CF交BD于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，則線段DH長度的最小值是___________.

【分析與解答】可以證明△AEB△DFC，所以∠ABE=∠DCF，再證明△ABG△CBG，所以∠BAG=∠BCG，得到∠BAG+∠ABE=∠BCG+∠DCF=90°，即∠AHB=90°，也就是說，△ABH是斜邊AB固定不變，但直角頂點H時刻發生變化的直角三角形，根據直徑所對的圓周角是直角，構造以AB為直徑的圓O，則點H始終在⊙O上運動.要使DH最小，則連接OD，交⊙O于H，那么點H就是所求的點.

因為四邊形ABCD是正方形，AB=2，所以AD=2，OA=OB=1.

評析：經分析可得∠AHB=90°，△ABH是直角三角形，而斜邊AB始終不變，直角頂點H發生變化，所以可以構造以AB為直徑的圓.

圖2

二、如果遇到一動點到定點的距離始終相等，那么可以構造以定點為圓心、以動點到定點的距離為半徑的圓

圖3

典例分析2：如圖3，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，點P是AB上一點，BP=3，點Q是CD邊上一動點，將四邊形APQD（DQ≠AP）沿直線PQ折疊，點A的對應點為M，當CM的長度最小時，CQ的長為___________.

【分析與解答】解決這個問題的關鍵是找出折疊后哪個位置使CM最短.由于將四邊形APQD沿直線PQ折疊，點A的對應點是M，根據折疊前后圖形全等，可知AP=MP，點P是定點，點M是動點，但點M到點P的距離始終等于AP的長，所以，以點P為圓心，以AP的長為半徑畫圓，點A的對應點M始終在這個圓上.

圖4

由圖4可得，連接PC，交圓P于點M，則此時CM最短.

過點C作CN⊥AB于點N.

由四邊形ABCD為菱形，AB=8，得BC=8.

又BP=3，則NP=1.

在Rt△CNP中，CP=7.

由折疊前后對應角相等，得∠APQ=∠MPQ.

由CD∥AB，得∠APQ=∠PQC，則∠MPQ=∠PQC，則CQ=PC，則當CM的長度最小時，CQ的長為7.

評析：由于本題中的點P固定，點A與點P之間的距離是一個定值，根據題意將四邊形APQD沿著直線PQ折疊，不管怎樣折疊，點A折疊后的對應點M到點P的距離始終等于線段AP的長.所以通過構造以點P為圓心、以AP為半徑的圓，結合圓外一點到圓上最短距離問題的解法就是連接該點和圓心，與圓的交點就是使該點到圓的距離最短的點，從而巧妙地找出點A沿直線AP翻折后的對應點，進而把問題解決.

三、如果遇到將一個等腰三角形繞其中一個角的頂點旋轉，可以構造以頂角的頂點為圓心、以腰長為半徑的圓，或構造以頂角的頂點為圓心、以底邊上的高為半徑的圓，或構造以底角的頂點為圓心、以腰長為半徑的圓

圖5

典例分析3：如圖5，點O為正方形ABCD的中心，點G是OA的中點，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF繞點G按逆時針方向旋轉，則旋轉過程中BH的取值范圍是___________.

【分析與解答】由于△EGF是等腰三角形，所以以點G為圓心、以EG為半徑畫圓，則點E、F在這個圓上，并且EF是圓的一條弦，H是弦EF的中點.又因為△EGF是腰長為2的等腰直角三角形，連接GH，則GH的長也是一個定值，所以以點G為圓心、以GH的長為半徑作圓，很顯然，BH的最小值和最大值在直線BG與小圓的交點處取得.如圖6，BH1最小，BH2最大.

則BH1=-，BH2=+.

圖6

評析：本題中通過旋轉等腰△GEF，可以發現EF的中點H到點G的距離是一個定值，所以通過構造以點G為圓心、以GH為半徑的圓，進而轉化成求圓外一點到圓上的點的最小距離問題，然后連接BG與圓交于點H，從而確定了圖形的具體位置，再結合題中的條件，運用已學過的數學知識加以解決.

四、如果遇到兩個有公共斜邊的直角三角形，可以構造以斜邊為直徑的圓

圖7

圖8

典例分析4：如圖7，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為___________.

【分析與解答】因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BOC=90°.

由CF⊥BE，得∠BFC=90°，△BOC和△BFC是有公共斜邊BC的直角三角形.

很顯然，以BC為直徑的圓經過點O、F.

由DE=2CE，CD=6，得CE=2，DE=4.

過點M作MN⊥BC于點N.

評析：本題通過構造以BC為直徑的圓，得到O、F、B、C四點在同一個圓上.根據圓的有關性質，觀察發現△OFM△BCM，下面的關鍵是求出OM和BM的長，利用相似三角形的性質可以求出OF的長.

總之，構造圓的方法體現了數學發散思維的特點，它能夠使數學問題的解題方法打破常規、另辟蹊徑、巧妙獲解，但是“構造圓”并不是胡思亂想，而是要以牢固掌握的數學基礎知識為前提，要以所具備的較強的綜合能力為基礎，要以敏銳的觀察能力為先導，要以良好的分析能力為利器，通過認真、仔細地觀察圖形，思考問題，分析圖形與問題之間的關系，去發現問題的各個環節存在的內在聯系，從而為尋求解法創造條件.因此，在遇到幾何問題時，一定要沉著冷靜、認真思考，根據題中的條件，看看是否符合這幾種類型中的某一種類型，然后根據相應的類型構造圓，利用已學過的知識加以解決.