數學化歸法的運用
——以“函數與角度”為例

☉湖北省武漢市二橋中學 張 蓓

有這樣一個故事，一天，數學家波利亞碰到一個物理學家，他問這個物理學家：“給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一個空水壺，讓你燒一滿壺開水，你應該怎么做？”物理學家回答：“把空水壺放到水龍頭下，打開水籠頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把一滿壺水燒開.”

波利亞說：“對，這個問題解決得很好.現在再問你一個問題：給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一個已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺開水，你又應該怎么做？”物理學家說：“把裝了半壺水的壺放到水籠頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把一滿壺水燒開.”但是波利亞的回答是：“把裝了半壺水的水壺倒空，就化歸為剛才已解決的問題了.”

化歸的數學方法是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段，將問題轉化，進而得到解決的一種方法，一般將問題由難化易，由簡化繁，由復雜化簡單.下面就以武漢市中考第24題為例，針對函數與角度問題，運用數學化歸思想解決這類問題.

一、課堂前置

圖1

選擇學生比較熟悉的四個函數與角度的問題，讓學生自己動手解決，并嘗試發現四個題目的內在聯系.

題目1：如圖1，拋物線y=x2-2x-1交y軸于點P，且經過點E（3，2），點F為拋物線上一點，且PF⊥PE，求點F的坐標.

解題過程：過點E、F分別向y軸作垂線，交y軸于M、N兩點.

由PF⊥PE，得∠EPF=90°.易得△EMP △PNF.

則-1-a=a2-2a-1，則a1=1，a2=0（舍去）.

則點F（1，-2）.

思考：學生利用垂直這個條件，得到兩個角互余的相似直角三角形，從而得到線段關系，進而轉化成點的坐標，最后求出結果.

題目2：如圖2，拋物線y=x2-4x+3交x軸于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點P為第一象限內拋物線上一點，且∠ACP=45°，求點P的坐標.

解題過程：過點A作AM⊥AC交CP于點M，過點M作MN⊥x軸，交x軸于點N.

思考：這一題與上一題有什么區別呢？沒有垂直的條件，所以要把這個問題轉化成上個垂直的問題，因此，過點A作AM⊥AC，通過構造，就將此問題化歸為第一個數學問題了.

下面，我們再來看第三題（武漢市中考第24題），方法是不是就很明顯了呢？

圖2

圖3

題目3：如圖3，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.P為拋物線的對稱軸上的動點，且在x軸的上方，直線AP與拋物線交于另一點D，連接AC、DC，若∠ACD=60°，求點D的橫坐標.

解題過程：（化歸為第一個數學問題）過點A作AM⊥AC，交CD的延長線于點M，過點M作MN⊥x軸于點N.

最后來看：這個問題是否也能化歸為第一個數學問題呢？請主動嘗試一下.

題目4：如圖4，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接AC、BC，點P是第一象限內拋物線上一點，連接PC，tan∠PCB=3，求點P的坐標.

解題過程：過點B作BM⊥CB交CP的延長線于點M，過點M作MN⊥x軸交x軸于點N.

直線CM的解析式為y=x+2.

則點P（7，9）.

那么，是不是所有函數與角度問題都可以化歸為第一個數學問題呢？我們繼續往下看.

圖4

圖5

題目5：如圖5，已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC，過點C作直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，且∠PCB=∠OCA，求點P的坐標.

這題的解法有多種，可化歸為第一個數學問題解決.

方法1：過點B作BM⊥CB交CQ于點M，過點M作MN⊥x軸于點N（化歸為第一個數學問題），得到兩個相似的直角三角形，從而得到線段比，進而求出點的坐標.最后通過直線與拋物線的解析式，求出交點的坐標.

方法2：過點A作AM⊥CA交CQ于點M，過點M作MN⊥x軸于點N，（化歸為第一個數學問題）得到兩個相似的直角三角形，從而得到線段比，進而求出點的坐標.最后通過直線與拋物線的解析式，求出交點的坐標.

總結：函數與已知角（特殊角度、已知三角函數值的角度、可求三角函數值的角度等）的問題都可化歸為第一個數學問題，從而解決問題.

那么，如果是函數與未知角，又該如何解決呢？我們一起來看看.

圖6

題目6：如圖6，拋物線y=x2-n2（n＞0）與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

（1）當∠ACB=90°時，求拋物線的解析式；

（2）E為第一象限內拋物線上一點，連接AE、CE，AE交y軸于點D，CE交x軸于點H，過點E作EF⊥y軸于點F，若∠EAO=∠ECO，求DF的長.

分析：這個問題顯然不能化歸為第一個數學問題，我們可以創造一個新的模型解決這一類動角（未知角）問題.

∠EAO=∠ECO，找這兩個角所在的三角形（直角三角形），由相似得到線段關系，進而得到點的坐標，從而解決這類問題.

圖7

通過以上總結，你可以自己來解決函數與角度問題了嗎？其實，只需要區分角度是哪一類，我們就可以用化歸法將問題轉化，從而解決好函數與角度問題.下面我們來檢測一下吧.

［素養提升］

練習題1：拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的正半軸交于點C.

（1）如圖8，若點A（-1，0）、B（3，0），

①求拋物線的解析式；

②P為拋物線上一點，連接AC、PC，若∠PCO=3∠ACO，求點P的橫坐標.

圖8

圖9

（2）如圖9，D為x軸下方拋物線上一點，連接DA、DB，若∠BDA+2∠BAD=90°，求點D的縱坐標.