一道中考試題的多解思路探究

☉湖北省武漢市左嶺第一初級中學 王曉霞

解題是人類的一項基本活動.人類有意識的思維中大部分均與題目有關.數學學習與解題息息相關.在數學教學活動中，近幾年的一些中考試題、調考試題成為研究的熱點.首先，這些題目的命制均來源于在數學方面有造詣的一些專家、名師，他們對知識的理解非常深刻，對數學知識的運用非常精通；其次，這些題目均與平常所做的題目或多或少有些不一樣，從而在解答時候需要仔細斟酌；最后，這些題目所展現出來的知識呈現方式、思維方式、解決問題的方式均值得好好研究與學習.筆者長期在一線從事基礎教育工作，研究試題是日常工作中重要的一部分，現針對2018年武漢市中考選擇題第10題，談自己的一點感受.

一、試題呈現

（2018年武漢市中考第10題）如圖1，在⊙O中，點C在優弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經過AB的中點D.若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長為（ ）.

圖1

圖2

二、多解思路

思路1：如圖2，連接OD，作直徑AE，連接BE，過點O作OG⊥BC于點G，交AB于點H.通過計算易得：BE=BD=2.因為弦BE與弦BD是等圓中的兩條弦，所以它們各自所對的劣弧是等弧，即，所以與是等弧，則∠ABC=∠EBC=45°.在等腰Rt△HBG中，斜邊BH=2+1=3，所以直角邊BG的長為，故BC=

思路1反思：垂徑定理的學習與應用可以讓學生順勢而為連接OD.但只有這條輔助線此問題是無法推進的.聯系題目已知條件，易想到構造直徑AE，連接BE.通過簡單計算發現BE=BD=2，這是一個非常重要的信息，而這個重要信息是通過計算獲得的，由此展開分析，利用45°構造等腰直角三角形解決問題.

思路2：如圖3，過點E作EF⊥BC于點F，連接CE.由思路1知∠ABC=∠EBC=45°.在等腰直角△BEF中，BF=EF=因為∠C=∠A，∠CFE=∠ADO=90°，所以△CEF△AOD且相似比為所以CF=AD=2，故BC=BF+CF=3.

思路2反思：思路2建立在思路1的基礎之上，同樣BC平分∠ABE得到特殊角45°是此解法的出發點，計算上兩種處理方法均使用相似求解.

圖3

圖4

思路3：如圖4，在思路1的基礎上，由于BC平分∠ABE，所以過點C作CF⊥AB，CG⊥BE，垂足分別為F、G.易證四邊形CFBG為正方形，設正方形的邊長為t.在等腰直角△AOC中，計算得AC=.在Rt△AFC中，利用勾股定理建立方程：（4-t）2+t2=（）2，求得t1=3，t2=1（舍去）.故在等腰直角△CFB中，計算得BC=3.

思路3反思：BC是∠ABE的平分線，自然聯想到向角的兩邊作垂線，通過勾股定理建立方程求出關鍵線段的長，從而計算出BC.

圖5

思路4：如圖5，過點C作CF⊥AB于點F，連接AC、CD.與所在的圓是等圓，且它們所對的圓周角均為∠ABC，所以與是等弧，故AC=DC=.在等腰△ACD中，根據三線合一，可知點F是AD的中點，所以在Rt△CDF中利用勾股定理計算出CF=3，易得BC=3.

思路4反思：∠ABC所對的弧有兩段，分別為與，雖然這兩段弧不在同一個圓中，但這兩段弧所在的圓是等圓，從而將角的關系轉化為弧的相等關系，再轉化為弦的相等關系，這是本思路的著眼點.

思路5：如圖6，因為∠ABC=∠EBC=45°，從而注意到AC=EC，故將△CBE繞點C順時針旋轉90°得到△CFA，則△CBE△CFA，所以∠CAF=∠CEB，FA=BE=2.因為∠CEB+∠CAB=180°，所以∠CAF+∠CAB=180°，故F、A、B三點共線，所以BF=AB+FA=4+2=6.在等腰Rt△FCB中，已知斜邊，計算得直角邊BC=3.

思路5反思：基于∠ABC=∠EBC，推理得到AC=EC，故使用旋轉法.

思路6：如圖6，延長線段BA至點F，使AF=EB，連接CF.易證△ACF△ECB，則CF=CB，∠FCA=∠BCE.因為∠ACE=90°，所以∠FCB=90°，即△FCB為等腰直角三角形，且斜邊長為6，所以直角邊BC=3.

圖6

圖7

思路6反思：使用補短法構造全等三角形.

思路7：如圖7，類比思路5，將△ABC繞點C逆時針旋轉90°得到△EFC.易證B、E、F三點共線，可知△BCF為等腰直角三角形，易得BC=3.

思路7反思：類比思路5，使用旋轉法，但旋轉的方向不同.

思路8：如圖7，類比思路6，延長線段BE至點F，使EF=AB，連接CF.易證△ABC△EFC，簡單推理即可知△FCB為等腰直角三角形，且斜邊長為6，所以直角邊BC=3.

思路8反思：類比思路6，使用補短法.

思路9：如圖8，取點O關于直線BC的對稱點O′，則O′為折疊之后的所在圓的圓心，⊙O與⊙O′為等圓，過點O′作O′E⊥AB于點E，則DE=BD=1.連接O′D、OO′、CO′，過點O作OG⊥O′E于點G，四邊形ODEG為正方形，所以OG=1，GE=1.計算得O′E=2，所以O′G=1.在Rt△OO′G中，利用勾股定理，得OO′=.根據對稱性，可知：HO′=，OO′⊥BC.在Rt△CHO′中，算得CH=，則

思路9反思：思路9的著眼點在于將表面的折疊問題看作一個隱圓問題，構造出這個隱圓，在隱圓中將問題解決.

圖8

圖9

三、解法升華

本題是武漢市2018年中考第10題，它的定位是一道有一定區分度、一定思維高度要求的題.本題雖然解法靈活，形式多樣，但是本題的切口并不大，主要切入點在同圓或等圓中弦、弧、圓周角之間的關系.如圖9，作直徑AF，連接OE、BF，對學生來說是可以自然而然作出來的輔助線，通過簡單計算可知BE=BF，學生難以由這兩條弦相等推導出它們所對的劣弧相等，這是本題的第一個難點.另外學生不易發現與是等弧，這是本題的第二個難點.為什么會出現這種現象？主要還是學生并沒有深入理解等圓的概念，學生傾向于或者更擅長處理同一個圓中弦、弧、圓心角、圓周角之間的關系，實際上它們的等量轉化關系在等圓中也成立.人教版教科書九年級（上）第二十四章“圓”第一節明確指出能夠重合的兩個圓叫作等圓.容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓.本題中實際上有兩個圓，而且這兩個圓是等圓.如果突破了這兩個難點，這個問題就變得非常簡單了，可以抽象化、一般化為圖10，在⊙O中，BD是∠ABC的平分線，∠ABD=α，延長BC至點E，使CE=AB，連接DE、DC、DA，過點D作DF⊥BC，垂足為F.則△DCE?△DAB，所以DE=DB.在等腰△BDE中，，所以， 即AB+BC=2BD·cosα.

圖10

本文中的考題是一個選擇題，可以直接利用上述45°角時的結論求得BC=3.這樣既提高準確度，又節省時間，不失為一種較好的處理方法.

四、寫在最后

通過對武漢市中考試題中選擇題第10題的研究發現：沒有任何一個題目是完全沒有見過的，雖然本題是一道有一定難度的題，但是經過分析還是能將它轉化為一個比較熟悉和簡單的問題，從而解決問題；任何一個看似復雜的問題也仍然是由一些比較簡單的問題重組而成的，在分析時要善于步步為營地將問題分解，各個擊破；解題不單純是一種“智力活動”，其中很大程度上是對學生意志的考查，學生很多時候由于畏難情緒，喪失了解決問題的迫切需求，解題欲望下降，主觀能動性不足，因而無法解決問題.所以，在數學解題過程中，要調動一切的智力因素與非智力因素，從基礎知識與基本方法出發，合理分解，最終將一個未知問題轉化到一個比較熟悉和比較簡單的問題上來，從而解決問題.