從解法探究走向教學微設計
——以一道新定義模考題為例

☉江蘇省海安市城南實驗中學 朱月鳳

最近一次學校中考?？季毩晻r，選用了一道新定義考題，從2019年5月北京市海淀區一模卷改編而來，前兩問學生答得還可以，但最后一問普遍適應性不好.為了做好講評工作，我們備課組先認真對該題進行了解法研究，并設計出系列鋪墊式問題，取得了較好的解題教學效果.本文整理該題的一些解法探究，再給出解題教學微設計，供研討.

一、新定義?？碱}的思路探究

?？碱}：（北京市海淀區2019年中考一模卷，改編）對于平面直角坐標系xOy中的直線l和圖形M，給出如下定義：P1、P2、…、Pn-1、Pn是圖形M上n（n≥3）個不同的點，記這些點到直線l的距離分別為d1、d2、…、dn-1、dn，若這n個點滿足d1+d2+…+dn-1=dn，則稱這n個點為圖形M關于直線l的一個基準點列，其中dn為該基準點列的基準距離.

（1）略.（限于篇幅，這一小問比較簡單，只是讓學生初步感知“新定義”，故略去）

①若T為原點，求該基準點列的基準距離dn的最大值；

②若n的最大值等于6，直接寫出圓心T的縱坐標t的取值范圍.

思路探究：（2）①由P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關于直線l的一個基準點列，得d1+d2+…+dn-1=dn.則dn的最大值為⊙T上的點到直線l的最大距離.

當T為原點時，如圖1，過點O作OH⊥l于點H，延長HO交⊙O于點F，則FH的長度為dn的最大值.

圖1

圖2

圖3

②這一小問比較晦澀、難懂，讓我們分析一條直線與圓的不同位置關系，如圖2、圖3.在圖2中，直線與圓相交，此時圓上任意一點到直線的距離最大時是垂線段FE（經過圓心T），容易發現，EF＜2，且圓上能找到“很多點”（遠遠超出6個）到該直線的距離趨于0，這樣就能找出“很多點”符合新定義，則n也就“遠大于6”，這與題意不符.于是我們可以確定線段與圓應該是沒有公共點的.再利用圖3進行分析，此時圓上任意一點到直線的距離最大時是垂線段FE（經過圓心T），設GE=x，則FE=2+x，要使得“n的最大值等于6”，則對照定義，應該有5x＜2+x≤6x.這個不等式不太好理解，設6個點都無限接近圖3中的點G，則2+x≤6x；另一方面，有5個點無限接近點G，它們的和不會超過5x，則5x＜2+x.綜上，可確定GE（即x）的范圍為，相應的TE（即x+1）的取值范圍為

圖4

解后反思：從上面的解題過程來看，從圖2到圖3，并分析出GE（即x）的范圍為，這是本題重要進展、關鍵步驟，非常抽象、難懂，且涉及多個點趨向一個極端位置，對極限意識和想象能力有很高的要求.

二、圍繞考題開展教學微設計

1.熟悉“定義”

出示上文“?？碱}”的“題干”部分，讓學生先熟悉新定義，并給出簡單的舉例，然后給出一組基礎熱身題.

問題1：在平面直角坐標系中，直線l是x軸，圖形M上有三點A（-1，1）、B（1，-1）、C（0，2）.

（1）判斷A、B、C是否為圖形M關于直線l的一個基準點列.如果是，求出它的基準距離；如果不是，請說明理由.

（2）請舉出一個圖形M，使得該圖形M上有四個點為圖形M關于直線l：y=-1的一個基準點列.

教學組織：第（1）問讓學生先獨立思考，再請學生上臺講解他是如何思考的；第（2）問學生設計出問題之后先在小組內由組長組織討論、分析是否正確，然后選擇符合要求的正確解答在全班交流展示，大家參與評析各小組所設計的問題是否符合新定義的要求.

2.初步運用

問題2：已知直線l是函數的圖像，圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T，P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關于直線l的一個基準點列.

（1）若T為原點，求該基準點列的基準距離dn的最大值；

（2）當點T的縱坐標為1時，求該基準點列的基準距離dn的最大值；

（3）當點T的縱坐標為7時，求該基準點列的基準距離dn的最大值.

教學組織：第（1）問對應著原“模考題”，跟進的第（2）、（3）問可以有效訓練學生對新定義的理解，并且感受到隨著圓心位置的變化，該基準點列的基準距離dn的最大值也在發生變化，為挑戰下一問較難題提供初步感知.

3.挑戰難題

問題2：已知直線l是函數的圖像，圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T，P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關于直線l的一個基準點列.

（1）舉例分析n的最大值能否到5；

（3）若n的最大值等于6，直接寫出圓心T的縱坐標t的取值范圍.

教學組織：安排兩個鋪墊式問題讓學生先想清如上文中提及的圖2、圖3這樣的圖形結構和性質，再有序挑戰最難的第（3）問.講評過程中，要注意讓優秀學生能結合圖形分析講解，這樣可以促進學生數形結合地分析這類問題，也讓更多學生體會“以形助數”的分析策略.

三、關于新定義考題的解法研究與教學建議

1.新定義題的解法研究要重視數形結合分析策略

根據我們的解題研究所見，當前新定義考題熱度不減，成為很多地區模考卷、中考卷的把關題型，而且新定義考題的風格各異，呈現豐富多樣的地區特點，比如，北京地區以新定義為背景，關聯函數圖像、直線和圓的位置關系，分析參數的取值范圍，引領著北京各區的?？季硪布娂娔７旅瞥龃罅康男露x考題，這些考題又被全國各個地區引用.可以發現，這類新定義考題的解題策略中都體現了數形結合的分析策略，也體現了“少算多思”的解題特點，教師解題時，要充分借助圖形分析臨界狀態，并善于分解、分離圖形來分析參數的取值范圍.

2.新定義考題解題教學時要注意預設鋪墊問題

在新定義考題解題教學時切忌就題講題，或者簡單的核對答案式的講解，或者以多數學生都會放棄最后一問為由，簡單應付一下講評過程.事實上，如果我們將最難的一問進行充分展開，不但能讓較多的學生理解、學會這道習題的解法，而且在這個過程中，還能讓學生復習很多基本圖形及其性質、經典結論及其變式，所以還是值得花時間開展解題教學的.當然，對于“最難小問”的解題教學，要像上文解題教學微設計一樣，進行充分預設，通過系列鋪墊式問題，鋪平墊穩，讓學生拾級而上，促進學生自主發現解法，貫通思路，不僅讓學生學會解這道習題，而且要在解題教學過程中讓學生能學會這類新定義習題的解法，并且在這個過程中收獲解題信心.

三、寫在后面

近兩年《中學數學（下）》刊發了不少新定義考題的教學研究文章，有效引領了一線教師的解題研究，本文就是受到類似文獻［1］～［3］的影響而整理出來的.這樣做，事實上也端正和加深了我們對解題研究的理解，比如，解題研究不能只是關注解法或一題多解，甚至是一些個性化的解法或者技巧性解法，而要從解法研究出發，基于學情預設解題教學微設計，以便促進學生更好地理解和掌握解法，達到做一題、通一類、會一片的解題效果.