中考數學試題中數學史內容的分析

☉太原師范學院附屬中學 薛 華

☉太原師范學院教師教育學院 劉 凱

☉太原師范學院教師教育學院 陳夢瑤

一、引言

我國教育部制定的《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求數學教材要適時地介紹數學發展史的相關材料，用以激發學生學習數學的興趣，因此筆者對初中數學教材中融入的數學史內容做了詳細的分析.該課程標準中還要求“評價應以課程目標和課程內容為依據，體現數學課程的基本理念，全面評價學生的知識技能、數學思考、問題解決和情感態度等方面的表現”，而且“試題的改編是指對已有試題的數據、面貌、內涵等方面進行合理改造，進而得到所需試題的過程，一個推陳出新的過程”.這么多年來，中考試題的編制是怎樣推陳出新的？其作為重要的評價方式，又是怎樣利用數學史實現對相應數學知識的考查，實現對數學思考、問題解決及情感態度的考查的？本文選取2017年各地區的中考試題為研究對象，對其中滲透的數學史內容做分析，特別關注考查的數學史內容和數學教材中數學史內容的關聯，以期為初中數學教學、中考試題的編制提供一些參考.

二、2017年中考數學試題的統計分析

汪曉勤教授將數學史融入數學教材分為五類：（1）點綴式，即圖片；（2）附加式，即閱讀性材料；（3）復制式，即古代數學問題的直接引用；（4）順應式，即在正文將數學問題改編為符合學情的問題；（5）重構式，即正文各部分融入數學史，數學史料經過加工變成易于學生理解的知識，是最高水平的融入.據此，本文選取2017年26個地區的中考試題，對其中涉及的數學史內容做統計分析，設置的統計類別有中考題的來源地區、題型及題次、考查知識領域、史料出處及內容，最主要的是按照樣本中數學史具體的呈現方式歸為四大類：一是史料的直接考查，即以史料為背景呈現考題；二是古今情境融合，即關注史料的現實情境設置考題；三是數學史料的重構，即通過對史料的適度改變建構考題；四是數學史與實用技術的融合，即沿襲我國古代數學重視與實用技術的融合而設置考題.具體呈現如表1：

表1 2017年中考數學試題中涉及數學史考題的統計

呈現形式 地區 題型及題次 考查知識領域 史料出處及內容古今情境融合史料重構與古代實用技術融合安徽 第16題，應用題《九章算術》，盈不足數福州 第20題，應用題 《孫子算經》，雞兔同籠湘潭 第18題，應用題長沙 第11題，選擇 《算法統宗》，步行問題遵義 第16題，填空 《算法統宗》，隔墻分銀問題東營 第16題，應用題 圖形與幾何 《九章算術》，纏木七周問題眉山 第15題，選擇 《九章算術》，井深幾何問題寧波 第24題，證明題圖形與幾何數與代數《周髀算經》，趙爽弦圖山西 第22題，證明題 《周髀算經》，勾股數昆明 第13題，填空 對祖沖之研究π的精神的重構呼和浩特 第16題，填空 統計與概率 《周髀算經》，割圓術結合古代拱門第15題，填空 結合莊子思想蘭州 第25題，應用題 結合蘭州中山橋張家界 第19題，證明題 結合銅像濟南 第5題，選擇 結合古代建筑窗格樂山 第7題，選擇圖形與幾何

三、2017年中考數學試題中數學史內容分析

由上面的統計分析可知：考查的26個地區中涉及數學史的考題有29處，其中考查“數與代數”的有14處（占比48.3%）、考查“圖形與幾何”的有14處（占比48.3%）、考查“統計與概率”的有1處（占比3.4%）；其中選擇題10處（占比34.5%）、填空題11處（37.9%）、應用題及證明題8處（占比27.6%）；從數學史內容的四大呈現方式來看，史料的直接考查有13處（占比44.8%）、古今情境結合的有7處（24.1%）、對史料進行重構有4處（13.8%）、與古代實用技術相融合有5處（17.2%）.具體中考試題分析如下：

1.試題中對史料的直接考查

2017年中考試題中涉及數學史內容的考題，以史料的直接考查來呈現的考題最多.這些試題都呈現了特定的數學知識發展的歷史，學生可直觀感受到數學史料，且陳述比較清晰，既考查了學生對數學史料的理解，也達到了知識的考查，但主要是對史料的直接考查.

圖1

例1（江西第9題）中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數工具）正放表示正數，斜放表示負數，如圖1，根據劉徽的這種表示法，觀察圖1①，可推算圖1②中所得的數值為___________.

分析：本題交代了“正負術”發展經歷過程中“算籌”的表示方式，通過對“算籌”的簡要描述，提出的問題既考查學生對史料的理解，也考查正負數概念及運算法則.而正負數發展經歷了坎坷，公元263年劉徽在《九章算術注》中詳細給出正負數的定義及運算法則，并應用算籌進行正負數計算（紅色表示正，黑色表示負）.從有關記載來看，負數最早出自于我國的《算術書》，而國際上對正負數的認識如下：印度最早由婆羅摩笈多給出，并給出了正負數的乘法法則；10世紀阿拉伯著名數學家艾布·瓦發（940年—約998年）應用了負數；而西方對負數的認識比較滯后，16、17世紀大多數歐洲數學家不承認負數，例如，帕斯卡好友阿潤德用反例反對負數，1831年英國數學家德·摩根仍認為負數是虛構的，到18世紀歐洲數學家才普遍接受負數，負數的合理性在邏輯上得到確立是在19世紀.

鏈接教材和教學：人教版七上有理數章節閱讀與思考對算籌的具體介紹，涉及了劉徽《九章算術注》中有理數計算法則詳細介紹.北師大版七上有理數及其運算章節的讀一讀中負數小吏同樣講到劉徽，還講到國外負數發展的歷程.由此看來，教師在最開始數的拓展中應關注數學教材中的閱讀材料，挖掘其中的數學知識，避免學生在考試時遇見此類問題有陌生感.

2.試題中的古今情境融合

涉及古今融合的考題位居第二，古今融合就是將中考試題結合數學發展過程中的情境，但是這樣的情境在今天仍然存在，仍有現實意義.學生既能了解數學史，又可以與自己的現實生活相結合，達到利用數學知識解決實際問題的目的，同時考題符合中學生的認知水平，又有數學建模的價值.

例2（湖南長沙第11題）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意是有人要去某關口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達目的地，則此人第六天走的路程為（ ）.

A.24里 B.12里 C.6里 D.3里

分析：該問題雖是對古題的再現，但是走路問題在我們生活中每天都在發生，學生可以在做題時體會數學知識時刻存在于自己身邊，同時該題考查學生對一元一次方程的理解.史料的來源《算法統宗》是明代數學家、珠算一代宗師程大位的著作，全書共17卷，完成了籌算到珠算的改革，其中運算口訣的編寫，加快了運算速度，我們熟悉的“一上一，二上二，三下五去二……”則出自本書.李儼先生曾說：“在中國古代數學的發展過程中，《算法統宗》是一部重要著作，從流傳的長久、廣泛和深入來講，那是任何其他數學著作不能與它相比的.”由此看出該書影響深遠，著作中有更多的經典問題可供我們現在利用，如“以碗知僧”“油鹽相換”，同時可用國外紙草書上的問題.

鏈接教材和教學：在人教版七上數學教材一元一次方程章節，例題中用到紙草書上的數學問題，“已知一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來為33，求這個數”.該題和例4中的考點及考查方式幾乎一樣，都涉及設未知數和通分.同樣北師大版七上教材一元一次方程章節隨堂練習中，由于考慮到剛開始認識一元一次方程，其對紙草書上的題進行了簡化，“一個數它的全部，它的七分之一，和為19，求這個數”.從這兩個典型版本教材可以看出教材中融入數學史時，編者根據學情進行了加工，而教師在教學過程中應領會編者對教材中數學史加工的意圖，拓展更多以數學史為背景的練習.

3.試題與古代實用技術的融合

試題與古代實用技術融合，說明中考試題中的數學史正體現了我國數學的發展注重它的實用價值，反映在考題中可以是利用古代建筑、古代實用主義的思想（莊子無限分割思想來自于對椎的分割）等來考查數學知識.

例3（內蒙古呼和浩特第16題）我國魏晉時期數學家劉徽首創“割圓術”計算圓周率.隨著時代發展，現在人們依據頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方法對圓周率進行估計.用計算機隨機產生m個有序數對（x，y）（x、y是實數，且0≤x≤1，0≤y≤1），它們對應的點在平面直角坐標系中全部在某一正方形的邊界及其內部，如果統計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有n個，則據此可估計π的值為___________.（用含m、n的式子表示）

分析：該題在我國割圓術基礎上結合了國外不同的求π的方法，對頻率估計概率及確定點的坐標進行考查.歷史上劉徽“割圓術”精確估算π的值，而法國人布豐則用一種十分奇妙的方法，即投針法來計算π，布豐是著名的自然科學家，但是他在數學研究中追求創新，1777年他在出版的《能辨別是非的數學實驗》中提出用在白紙上投針的實驗方法計算π.同樣，1995年，英國的羅伯斯·馬修斯利用夜空中的亮星來計算圓周率.這些數學實驗，證明了圓周率π隱藏在自然界的客觀規律中.

鏈接教材和教學：人教版九上教材概率初步試驗與探究中通過在正方形的內接圓中撒米來估計π；北師大版九上教材概率的進一步認識讀一讀中涉及模擬實驗，即利用小球代表生活中的事物或者用計算器產生數據進行模擬，都是與例題一樣的原理.

圖2

四、結論與建議

數學是培養學生邏輯思維能力的重要學科，它是以發展邏輯思維為主的一門學科，并且有著長久的歷史發展過程，在“立德樹人”的教育理念中起著重要的作用.通過對2017年26個地區中考題中數學史內容的分析，提出以下建議：

1.以《課標》為指導，以教材為抓手

考查的中考題中的數學史料，基本上在全國使用較多的各種版本的數學教材中都能找到它的蹤跡，可見中考試題并沒有脫離教材，并且在教材中呈現的方式都可以抽象出具體的數學模型，與中考數學題呈現方式遙相呼應，所以數學教學應緊密結合課標要求的深度，重視教材中融入的數學史料，教師應綜合利用多版本教材，熟悉適用范圍最廣的三大版本的數學教材，在數學史料中挖掘數學知識的本質屬性，在講解數學史時不僅僅只是講故事，而且應該把它貫穿在整個數學知識的學習中，以史料為母本，以數學名題為背景，在游戲中講課，在游戲中輕松學習，避免現在許多教師利用導學案而忽視了對教材的關注.

2.以史為基石，情境再現，加強重構

通過統計分析可以看出以重構方式呈現的數學試題比例最小，而將數學史料通過重構式、順應式融入數學教材的方式一直是我們期待的融入形式，同樣數學中考試題的呈現也應該加強這兩種方式，因為歷史在發展，原有情境在我們現今生活中依然存在，我們應用好史料，讓其繼續為我們服務，在此基礎上，由于時代在進步，并且數學題永遠做不完，我們應該像寧波、山西考題那樣以史料為基礎，但不拘泥于固有的思路，進行更多的變形，達到一個史料為多個數學知識服務的目的.

3.關注經典，深入研究，多方交融

中考題中的數學史料均出自于中國的經典數學著作，可見《九章算術》《海島算經》《九章算術注》《周髀算經》《算法統宗》這些經典有著不可小覷的影響力，這就啟發我們一線的數學教師提高自己的專業素養，關注經典著作中的數學問題，將其轉化為學生可以接受的數學知識，擴寬學生的視野，與此同時，我們發現中考試題中對國外數學史實的關注度遠遠不夠，這就要求我們重視多元文化下的合作交流，避免盲目自信.在多國交融的基礎上，還應該結合本土特點.我國試題大多結合了古代的實用性這一特點，在融入國外數學史時同樣應該結合別國數學的特點，讓數學“活”起來，成為富有感情的學科，成為有血有肉的學科.