問題驅動探究，拓展發展素養
——“三角形小結復習”教學實錄與評析

☉湖北省武漢大學附屬外語學校 周一敏

☉湖北省武漢市武昌區教育局教研培訓中心 劉 欣

問題驅動是探究式教學的重要手段，而探究式教學是基于核心素養的一種重要教學方式.以培養學生核心素養為依據的教學設計，要合理創設情境，精心設計問題，啟發學生探究，發展學生思維，讓學生在探究的過程中既掌握知識與技能，又感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發展核心素養.章節復習課是課堂教學中的一種常見課型，在教學中如何將數學學科核心素養落實到課堂，重視和加強數學思想方法的提煉和滲透，有效提升學生的思維水平和數學素養.執教者在2018年9月28日“國培計劃”棗陽市送教活動中主講“三角形小結復習”一課，嘗試以問題為主線，以線串珠，驅動學生自主探究，構建知識網絡，并通過變式拓展，打破思維定式，逐級推進深度思考，起到了較好的復習效果，獲得了同行的一致好評.現將這節課的課堂教學實錄整理如下，與同行交流探討.

一、教學實錄與點評

1.巧妙設問，梳理知識

師：本章中我們學習了與三角形有關的線段、角及多邊形的內角和等內容.同學們，你能運用所學知識解決下面幾個問題嗎？

（教師畫圖，提出問題，學生思考，然后回答）

師：畫一個△ABC，若AB=5，AC=3，則BC的取值范圍是多少？

生1：2＜BC＜8.

師追問：你是怎么得到的呢？

生1：由三角形的三邊關系可得.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以AB+AC＞BC＞AB-AC.

師：很好！那么，哪個同學能說說得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的依據？

生2：可以把B、C兩點看成定點，由“兩點之間，線段最短”得到AB+AC＞BC.

師：很好.同理，我們可以得出另外兩個不等式.通過移項，不難得出AB-AC＜BC.

（教師在△ABC中繼續作圖，提出新問題）

師：過點A作AD⊥BC于點D，作AE交BC于點E，使得∠BAE=∠CAE，取BC的中點F，連接AF.你們能在圖中分別找出△ABC的高、角平分線和中線嗎？

生3：AD是高，AE是角平分線，AF是中線.

師：很好，在研究與三角形有關的線段時，除了三邊之間的關系，我們還要能根據已知條件熟練找出三角形的高、角平分線、中線.

師：在△ABC中，若∠A=80°，∠C=60°，則∠B等于多少度？

生4：∠B等于40°.

師追問：你是怎么求出的呢？

生4：根據三角形內角和等于180°，∠B=180°-80°-60°=40°.

師：這名同學說三角形的內角和等于180°，這個結論是怎么證明的呢？

（生5上臺演板，作輔助線并說明證明思路，生6補充不同的證法）

師：這兩名同學在證明“三角形的內角和為180°”的過程中，都利用了平行線的性質與平角的定義.大家看，我過點A作AH⊥BC，那么∠BAH又是多少度呢？由此可以得出什么結論？

生7：∠BAH等于50°，可以得到直角三角形兩個銳角互余.

師：如果把邊CB延長，得到△ABC的一個外角∠ABD，則∠ABD的度數是多少？

生8：∠ABD等于140°.

師追問：你是怎么求出的？

生8：根據鄰補角的定義可以求出，也可以根據“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”求得.

師：你可以由三角形的內角和定理來推出這個結論嗎？

（生8敘述證明過程，教師補充并加以評價）

師：∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，（圖略）這三個角的和是多少度？

生9：分別求出三個角，可以得到三個角的和為360°.

師：我們是不是也可以看作三個平角分別減去三角形的三個內角求得呢？

師：三角形是最簡單的多邊形，也是認識其他圖形的基礎，我們可以利用三角形的內角和來研究多邊形的內角和.在邊BC外取一點D，連接DA、DC，構成一個四邊形，那么這個四邊形ABDC的內角和是多少？外角和是多少呢？

生10：這個四邊形的內角和為360°，外角和也為360°.

師追問：能由三角形的有關知識推出嗎？

生10：四邊形ABDC是由兩個三角形△ABC、△BCD組成的，根據三角形的內角和定理可以推出四邊形ABDC的內角和是360°，從而得到外角和也為360°.

師：五邊形的內角和是多少？外角和是多少？n邊形呢？

（學生思考、回答，教師追問并關注學生能否運用自己的語言解釋得到答案的過程）

師：我們發現，可以由三角形的內角、外角類比研究多邊形，得到多邊形的內角和、外角和.

點評：教師畫一個△ABC，提出問題，引導學生運用三角形內角和定理解決實際問題，在學生交流三角形內角和定理的不同證明方法的過程中，歸納獲取知識的途徑、方法、思想，調動學生深度思考.接著在△ABC的基礎上，繼續畫圖，提出新的問題，設計一個個問題串，帶領學生解決問題，具體、直觀，較好地復習了本單元的核心內容、主干知識和重要的思想方法.雖是復習舊知，但不是舊知識的簡單再現.這樣驅動學生自主探究，促進學生深入思考，激起了學生的學習興趣.

2.激發思維，構建體系

師：同學們，根據剛才的知識梳理，你能發現本章主要知識之間的聯系嗎？你能畫出本章知識結構圖嗎？大家動筆試試，然后小組交流.

（學生畫知識結構圖，教師巡視并關注不同層次的學生，適當進行提示和指導.學生完成后，小組之間相互交流完善，教師利用“希沃授課助手”展示部分學生的結構圖）

師：我們來看看這名同學畫的結構圖.本章主要知識點有哪些？你發現它們之間有什么聯系呢？

生11：我覺得本章主要知識點可以分為與三角形有關的線段和角，其中線段有邊、高、中線、角平分線，角有內角和、外角和.

師追問：多邊形的內角和、外角和與三角形有什么聯系呢？

生11：可以通過連接多邊形的對角線，轉化為三角形問題，進而求解.

師追問：你為什么想到這樣列框架圖呢？有什么作用呢？

生11：我覺得簡潔、明了，可以幫助我熟練運用本章知識解決問題.

師：有沒有同學和剛才這名同學思路不一樣呢？可以給大家展示一下.

生12：我畫了一棵樹的形狀，以三角形為主干進行發散，在枝干上有線段和角，然后在小分枝上把所有的概念和定義都寫了出來.

師追問：你覺得這樣畫有什么好處呢？

生12：我把所有的概念、定理都畫出來了，很全面，可以加深印象，不容易忘記.

師：很好！還有同學有不一樣的想法，想要展示或者補充的嗎？

生13：因為我覺得圖形和符號比文字更簡潔，所以我的框架圖都是用圖形或者符號，便于記憶和理解.

師：大家的想法都很好，畫出的框架圖也非常棒！在每一章學習結束后，我們要善于對本章知識進行歸納和整理，歸納的方式不唯一，可以用文字，也可以用圖形、符號等，重要的是要形成自己的知識體系，進而靈活運用所學知識解決問題.

（學生回答，簡要說明自己列框架圖的意圖，教師給予肯定，學生相互補充完善，師生在黑板上共同完成如下知識結構圖）

圖1

點評：留給學生充足的時間，讓學生自主思考、分類歸納，繪制單元知識樹或知識框架圖，并讓學生交流自己繪制的意圖，解釋繪圖依據，這樣的交流活動，梳理基礎知識，構建整體知識網絡，引發學生深層思維，發展了數學抽象、直觀想象、邏輯推理的數學學科核心素養.

3.綜合運用，能力提升

師：下面，我們利用本章知識解決一些綜合問題.已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則這個三角形的周長是多少？

生14：它的周長是20.

師追問：你是怎么得到的？

生14：因為等腰三角形的兩腰相等，題中已知兩邊長分別為4和8，可以分為兩種情況：4、4、8和4、8、8，但是4+4=8，即4、4、8不符合三角形三邊關系，所以這個三角形三邊長分別為4、8、8，周長為4+8+8=20.

師追問：很好.這個問題用到了什么知識？需要注意什么問題？

生14：用到了三角形三邊之間的關系，要注意分情況討論.

師：很好.反之，若等腰三角形的周長為20，一邊長為4，則其他兩邊長是多少？

生15：分情況考慮：若4是腰長，另兩邊分別是4和12，4+4＜12，不符合三角形三邊關系，故應該舍去；若4是底，另兩邊分別是8和8，4+8＞8，符合三角形三邊關系.所以其他兩邊長均是8.

師：很好，仍然用到了三角形三邊關系的知識和分類討論的思想.現在把這個問題放到實際情境中：小明用一條長20cm的細繩圍成了一個等腰三角形，他想使這個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，那么這個三角形各邊的長分別是多少？請同學們寫出解答過程.

（學生先獨立思考，教師巡視，關注不同層次的學生并予以指導.接下來，教師利用“希沃授課助手”展示學生范例，明確所用知識點，強調解題格式，規范書寫過程）

師：我們再來看看與三角形的角有關的問題：如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CE相交于點O.若∠ABC=40°，∠ACB=60°，則∠BOC是多少度？說一說你的思路.

生16：∠BOC=130°.因為BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠DBA=20°.因為CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠ACE=30°.在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=130°.

師追問：你在解決這個問題的時候，用到了哪些知識？

生16：用到了三角形的內角和、角平分線的定義.

師：現在把條件變一下，若∠A=80°，則∠BOC是多少度呢？誰能解決這個問題？

（生17回答，敘述解題思路）

師追問：你又用到了哪些知識？

生17：用到了三角形內角和定理、角平分線的知識.

師：這里其實還用到了整體的數學思想.當∠A為任意角度時，∠BOC和∠A之間有怎樣的數量關系呢？

（學生獨立思考，然后回答）

圖2

師：其實，用三角形內角和定理和角平分線的知識可以解決這樣一類問題，例如：若∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點O，則∠BOC與∠A又有怎樣的數量關系？若∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點O，則∠BOC與∠A又有怎樣的數量關系？同學們可以進一步探究.

點評：在原有問題的基礎上，進行變式化的問題設計，既激發了學生對問題的探究興趣，又打破了學生的思維定式，增強應變能力.兩個例題的變式拓展，層層推進，引導學生在不同背景、不同層次的問題中逐步把握問題的本質，達到舉一反三、觸類旁通的效果，培養了學生的邏輯推理能力.

二、評析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式，數學學習活動應當是一個生動活波的、主動的和富有個性的過程.”本節課設計嚴謹，過程流暢，問題的提出與解決環環相扣，數學活動的開展井然有序，較好地體現了新課程的教學特點.課堂中充分體現了學生的主體地位，教師只是學習的組織者、引導者、合作者，學生在解決問題的過程中，體驗了構建知識體系的過程，探尋了解決問題的方法，經歷了展示交流的成功喜悅.

1.以“問題驅動”為主線

本節課教學中，從一個基本圖形三角形出發，添加線段構成新的圖形，精心設計一系列問題，將要復習的核心知識隱含于問題中，然后引導學生一個個逐步解決，在解決問題的過程中，讓學生腦子里形成知識網絡，從而自主構建知識框架圖，并在此基礎上將問題拓展延伸，讓學生在解決綜合問題中，發展思維，提升能力.教學活動圍繞“問題驅動—構建體系—應用探究—歸納總結”幾個環節展開，把教學內容轉化為問題，并以問題為線索，引導學生發現問題、分析問題、解決問題，為學生創設了和諧的、自主探究的課堂學習環境，問題層層推進，滿足了不同發展潛能學生的學習需求.

2.以“展示生成”為方法

在進行知識梳理和構建知識網絡圖的過程中，組織學生交流展示，教師留給學生充足的時間，給學生提供了更多的合作與交流的機會，讓每個學生都積極參與到學習中來，都有自由表達的機會.課堂中教師的很多追問是根據學生的回答即時生成的，學生的回答也展示了每個學生思維的敏捷和智慧.這樣的課堂教學組織讓學生的學習從“被動式、接收式”變成“自主式、合作式、探究式”，培養了學生“在探究知識發生、發展過程中學習知識”的學習習慣，讓學生學會學習、學會思考、學會探究、學會建構，讓學生在交流、表達、展示中獲得了成功體驗，激發了學生的深度思考，在具體的數學活動情境中，學生的數學素養自然生成.

3.以“發展素養”為核心

數學學科核心素養是學生在學習數學的過程中逐步形成的綜合能力，它基于知識和技能，但高于數學知識和技能.要使學生在真實的情境里，通過自主學習、合作學習和研究性學習，主動進行知識建構，逐步建立認識、理解、解決問題的思想方法和策略，形成核心素養.教學中教師從學生現實生活的經歷和體驗出發，讓學生經歷“發現問題—解決問題—提出問題—解決新問題”的學習過程，整理本章知識，思考知識之間的聯系，形成知識體系，體會研究幾何問題的一般思路和方法，從而能夠有條理地思考、解決問題，能夠在較復雜的問題情境中運用所學圖形的性質解決問題，發展了邏輯推理能力.課中基于數學學科核心素養的問題設計，課堂教學中充分體現學生主體地位的展示平臺，實現了師生互動、生生互動，在一系列具體的數學活動中，體現了以“發展素養”為核心的宗旨，學生的數學學科核心素養在學習中得以充分發展.