核心素養視角下的初中數學復習課
——以“一元二次方程”為例

☉江蘇省無錫市塔影中學 胡 吉

數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.深度學習的目的導向將教師由過分注重學生成績轉向“思維思辨”的能力培養，課堂復習的形式也應當由機械訓練轉向多向思維.成功的課堂不僅要求學生能解決問題，也要善于發現問題、提出問題；課時的設置要堅持問題導向，精選能激發學生探究欲望的、易錯的、有代表性的例題，這樣將有利于激發學生深度學習，形成有積極思維的課堂

一、理論簡介

基于《義務教育數學課程標準（2011年版）》，有人提出了數學學科核心素養，數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，共六項三大類；其中能展示數學一般特性的是數學抽象與直觀想象，而數學運算與邏輯推理則強調了數學的嚴謹性，能體現數學的實用性的便是數據分析與數學建模.一直以來廣大教師一直試圖通過構建思維課堂來培養學生的數學思維，從而促使學生深度學習，而數學學科核心素養的提出，無疑為這一目標起到了導向的作用.下面筆者以一節“一元二次方程”復習課為例，探討如何基于核心素養設計復習課，從而促使學生數學思維的發展.

二、教學設計

1.梳理舊知，構建思維導圖

師生活動：提前布置，讓學生在課前對整章節的知識進行梳理，然后在教師的引導下通過小組合作的方式構建基于一元二次方程知識點的脈絡體系的思維導圖.

設計意圖：讓學生回歸教材，重溫知識點.通過制作思維導圖的方式將整個知識體系串聯起來.通過師生互動、小組互助的方式讓學生在相對輕松的環境中提高參與度，對后進生而言，盡管這件事并非由其主導，但由于參與整個過程，印象也會比較深刻，為本節課接下來的教學做好鋪墊.

2.精講精練，提高方法

問題1：用適當的方法解以下方程：

師生活動：讓學生上黑板演示.其中對于第（1）題，學生選擇了直接開平方法，對于第（2）題，學生選擇了配方法，對于第（3）題，學生使用了公式法.以上3題多數學生方法類似.然而在第（4）題的處理上產生了分歧，最初上來演示的學生直接在兩邊同時除以，然后由計算得到x=6，隨后立即有學生指出少了一個根，指出錯誤的學生選擇的方式是兩邊直接展開，通過同類項的合并得到x2+9x-90=0，隨后通過十字相乘法獲得結果為x=6或x=-15.又有學生提出可采用換元法用y替代，然后通過移項并提取公因式的方法，能使原本復雜的運算更加簡化.

圖1

在這一過程中，教師通過學生操作可總結：缺一次項的一元二次方程宜采用直接開平方法；二次項系數為1、一次項系數為2的倍數的易于配方，使用配方法較為簡便；系數中含無理數，使用其他方法沒有優勢的，宜考慮公式法，當然用公式法計算應先驗證b2-4ac是否為非負數，再考慮進一步計算.在第（4）題的解答中，對于第1名學生因錯誤導致的失根情況，應及時分析產生的原因，避免下次再犯類似的錯誤；第2名學生的方法盡管運算量較大，但在很多情況下也被使用到；顯然第3名學生的方法是最簡單、易操作的.這就為學生思維的發散留下了空間，應提倡一題多解.

設計意圖：設置各種題型，通過計算，讓學生能感受一元二次方程各種解法的不同，同時通過不同解法產生思維碰撞，讓學生切實體會用什么方法更合適，這樣也有助于學生思維的發展.

問題2：當a為何值時，關于x的方程（m-1）x|m|+1+3x+9=0為一元二次方程？

師生活動：引導學生回顧一元二次中“元”和“次”的基本要求，對照思維導圖中一元二次方程的一般形式，根據學生的回答板書：最高次項必須是二次，最高次項的系數不得為0.

設計意圖：強調一元二次方程的定義，對于概念、定義，不能簡單機械地停留在表面的記憶，而應當結合練習掌握其實質，做到學以致用.同時為問題4的設置埋下伏筆.

問題3：不解方程，判別下列方程根的數量：

師生活動：本題由學生自發舉手口答完成.

設計意圖：通過一個基礎題型讓學生回顧并練習如何使用根的判別式來判斷方程根的三種情況.

問題4：已知關于x的方程3kx2+12x+k=-1有兩個相等的實數根，且k＞0，求k的值并解這個方程.

師生活動：本次由學生板演完成，教師應提示學生注意此處求k的值時不應遺漏k＞0這個條件，且求完k的值后應進一步解出方程.

設計意圖：此題意圖引導學生逆向思考根的判別式的有關問題，即在有字母系數的前提下如何根據方程根的情況確定參數的范圍，為下面的追問做鋪墊.

追問：你能解決好下面這個問題嗎？

已知關于x的方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有實數根，求k的取值范圍.

師生活動：很快有學生上黑板板演：（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得k≥.剛寫完，立刻有學生說：“不對！”作為一個一元二次方程，首先要考慮保證二次項的存在，所以二次項系數不為0；其次得到一元二次方程要有實數根，故根的判別式Δ=b2-4ac≥0，因此解題如下：

其實此題的答題關鍵詞在于實數根和方程，從形式上看會讓人認為這是一個一元二次方程，所以，多數學生得到上述相同的結果，并認為完全正確.但若仔細審題，會發現此處的描述是方程，而方程是可以有多種形式的，除去次數的限制，此處即使（k-2）2=0使方程不含二次項，但之后得到的5x+1=0依然滿足了是方程這個條件，因此k=2時依然符合題意.綜合上述，最終k的取值范圍為

設計意圖：在上題的基礎上，此題的設置意在考查學生思維的嚴密性，對于一元二次方程，在任何時候都要考慮其根本的定義需要保證其最高次項為二次；而細心閱讀、正確審題應是學生閱讀素養的基本要求，此處審清題意，畫出關鍵詞后，將眼光從一元二次方程的局限性上解放出來，強化知識結構拓補，提高思維的廣泛性.

問題5：在以下關于x的一元二次方程中，求

師生活動：對于這兩個題目，學生使用了不同的解法，第（1）題學生使用十字相乘法求出x1=3，x2=-1，然后將x1和x2代入求值；第（2）題學生使用根與系數的關系求x1+x2和x1x2，然后用進行相關計算.

設計意圖：通過實際題型的對比，讓學生感受當一元二次方程兩根結構較為復雜的情況下用與x1和x2相關的代數式求值的便捷性.

問題6：若關于x的一元二次方程x2+4x+a=0有兩個不相等的實數根x1和x2，其中兩根分別滿足以下條件，求a.

師生活動：對于（1），很多學生單純考慮了x1+x2=-4，x1x2=a，得到a=-3.對于（2），也有學生采用了此種方式，結果求出a=±5.可引導學生將a=5代入原方程，發現原方程無解.此時讓學生探討這種情況產生的原因是忽略了兩個不相等的實數根這一條件，因此需添加Δ＞0，得a＜4，則a只能取-5.

根據目前學界的討論成果，體育賽事轉播權并不是一個嚴謹的法律概念；學者們也并沒有就它的內涵外延達成共識。

設計意圖：（1）的題型設置極易讓學生忽略兩個不相等的實數根這一條件，因為此題中用不到.因此若在此追加（2），可使學生體會到在運用一元二次方程根與系數的關系時，不能忽視其產生的前提條件是原方程有實數根，也就是必須考慮根的判別式，能對單個知識點進行遷移和延伸，從而提高學生思維的嚴密性.

追問：若關于x的方程x2+4x+a=0的兩個實數根都小于1，你還能求實數a的取值范圍嗎？

師生活動：引導學生發現，實數根與1的大小比較通常可由作差來體現，當然也不能忽略了實數根產生的前提條件.

解：設原方程的兩個根為x1、x2.

則x1+x2=-4，x1x2=a.

由題意得x1＜1，x2＜1.

設計思路：以上三題考查了利用根與系數的關系求字母的范圍，由淺入深，雖然解題的切入點略有不同，但是其共同的規律就是在利用根與系數的關系確定字母的取值范圍時，必須同時考慮根的判別式，也就是字母的取值能否使原式產生符合要求的實數根，通過三題的歸類和思考，促使學生總結出這類題的解題方法.

三、教學反思

1.堅持興趣導向，精心安排過程，提高學習效率

學生的學習不能僅僅依靠壓力迫使其被動學習.學生能力特別是創新能力的提高及數學思維的培養，更多的應該通過興趣激發.興趣能激發學生潛在的求知和探究的欲望，從而成為思維和能力發展內在的動力.因此，教師在安排復習課內容時，應當精心挑選學生可能感興趣的內容，問題的設置需要有導向性，盡可能精確制導，安排那些讓學生覺得有價值的題目，讓學生覺得有興趣并愿意花時間去掌握的內容.

對于學生而言，公式只是公式，如果僅僅只是強調這個公式是什么、這個定理怎么用是不夠的.應該跟他們探索定理、公式是怎么來的，怎么會探索到這個結果，在什么情況下這個定理是有用的，能解決什么問題，順著怎樣的思路我會探索到這一步，這其中是怎么去思考的.這樣的引導方式能讓學生對學習的目的更加明確，學以致用也不會僅僅停留在口頭階段.

2.巧用學科思維導圖，加強概念間的邏輯關系，圖形化理解知識結構

數學本身需要經歷一個從直觀到抽象的過程，但如果能使抽象的東西以一種圖形化方式直觀呈現，那么學生對知識點復習的效果將顯著提升.相對于枯燥無味的文字概念，按學科本身的結構、規律、特點來繪制的學科思維導圖能使概念與概念之間的邏輯關系通過可視化的方式展示出來，無論是接受新知識還是復習舊知識，都能使學生對當前內容和知識的掌握程度顯著地改善和優化.

在階段性復習的時候，教師可以引導學生在大致了解整個單元的知識結構之后，通過解析數學概念之間的縱橫關系、要素間的聯系，厘清思路，畫出思維導圖框架.然后進一步細分思維導圖，將其所包含的多個過程不斷細化，并做好明確的標注，通過導向性提問來幫助學生回顧相關的知識點，讓學生通過相互討論、互相補充的合作方式，將松散的知識點串聯起來，構建出完整的知識脈絡體系.這樣的方式將有助于提高學生的邏輯思維能力，起到加深理解的效果，復習的效率便能大大提升.課后可以通過布置將根據本課相關內容制成的思維導圖與所講例題進行對應關聯，引導學生對課堂進行回顧，進一步完善思維導圖.

3.加強針對性，提高層次性，培養“歸類建模”能力

核心素養中包含的重要內容之一便是數學建模的能力.所謂建模，其要求是在提出問題、分析問題、解決問題的過程中能利用數學的方法和思維得到一個大致的模型，并在使用過程中通過不斷改進來持續優化這個模型，從而能得到一種符合學生思維和解題規律的程序.

在復習過程中，我們應當根據課程標準和學情的實證分析，通過類似題、可變題型的對比，引導學生從不同角度分析問題，從類比到歸納，在實踐中總結帶有規律性的解題思路和操作方法，并在教師引導下歸類建立數學模型，達到以不變應萬變，實現對知識點深層次的理解，從而提升學生的歸類建模能力.

4.提倡深度學習，鼓勵質疑探究，多向發散思維

深度學習的目的導向將教師由過分注重學生成績轉向“思維思辨”的能力培養，課堂復習的形式也應當由機械訓練轉向多向思維.成功的課堂不僅要求學生能解決問題，也要善于發現問題、提出問題.課時的設置要堅持問題導向，精選能激發學生探究欲望的、易錯的、有代表性的例題，這樣將有利于激發學生深度學習，形成有積極思維的課堂.教師還要鼓勵學生在充分思考的基礎上提出自己的觀點，對于問題要善于探究、敢于質疑、勇于自我展現.在此過程中，教師也要及時抓住契機，對學生給予充分肯定，不要吝惜自己的贊賞，讓學生能從探究的快樂中感受快樂和自我價值.通過“質疑”讓學生明確問題的實質，通過“探究”讓學生在過程中通過多向考慮掌握相應的方法，促進自己綜合素養和解題能力的提高，從而實現課堂教學的有效性.

四、結束語

核心素養導向的復習課，最終的關鍵并不在于教學內容的完成，而是通過本課的復習，學生掌握了什么，養成了什么，發展了什么.若通過本課的學習，能夠促使學生深度思考，構筑起與本課內容相關的知識脈絡、養成更好的學習習慣、掌握更多方法、發展更好的學科適應能力，并將其內化為與課程目標相符的數學學科核心素養，那么這樣的課堂便是有效的思維課堂.