注重聯系，立足整體，提升能力，發展素養*
——以“不等式與不等式組”單元復習課（第1課時）為例

☉福建省廈門大學附屬實驗中學 林運來

☉福建省漳平第二中學 廖易新

復習課教學難，“簡單”內容的復習課教學更難，這是數學教師普遍反映的問題.日常的復習課存在“三多三少”現象：教師講得多，提煉得少；學生做得多，思考得少；現成資料多，自主設計少.更為突出的是“簡單”內容的復習，儼然成了“雞肋”.有的教師在思想上對“簡單”內容不是很重視，課堂上往往照本宣科，一帶而過；有的教師認為反正內容“簡單”，復習不復習無所謂，干脆讓學生看一看書，做一兩套單元復習卷，便算完成了教學任務.復習課一方面要回歸基礎，完善知識體系；另一方面要加強聯系和綜合，提煉思想方法，整體培育數學學科核心素養.新形勢下的單元復習教學應摒棄以知識點為中心的做法，倡導“大觀念”“大主題”“大過程”的教學，為課堂教學指向學科核心素養提供有效路徑.尤其是在強調核心素養的當下，如何抓住更核心的內容，以“更少”的概念，進行“更深”層次的教學，實現學科知識的“整合”，促進學生發展學科素養，是我們需要思考的，也是我們需要改變的.因此，“簡單”內容的復習課，教師不僅要讓“簡單”內容教得深刻，從中“做足”學生對數學的理解，還應高瞻遠矚，置“簡單”內容于廣闊的數學學科背景之中，深入挖掘其蘊含的育人功能，追求教學價值的最大化，提高學生的數學素養.

2019年4月17日—20日，筆者在福建省“十三五”中學數學學科帶頭人集中培訓活動中，執教了一節“簡單”內容的復習課——“不等式與不等式組”單元復習課（第1課時），筆者踐行“教思考、教體驗、教表達”的理念（即“三教”理念），考慮從“銜接·整體·聯系”的視角對本課內容進行創新設計.現將本節課的教材分析、教學實踐、教學反思等整理出來與大家分享，不當之處，敬請批評指正.

一、教材分析

1.教材內容分析

“不等式與不等式組”是人教版《義務教育教科書·數學》（七下）第九章的內容，包含不等式、一元一次不等式、一元一次不等式組三節內容.本章是學生學習了有理數、整式的加減、實數等“數與代數”的內容及一元一次方程、二元一次方程組等“方程與不等式”的內容后進一步學習的教學內容.等式與不等式、一次方程（組）與一元一次不等式（組）之間具有緊密聯系.本章既是前面所學一元一次方程、二元一次方程組等知識的拓展，也是后繼學習“一次函數”（八下）及高中必修課程預備知識“相等關系與不等關系”“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”等內容的必備知識和基礎，具有承上啟下的作用.

2.教法分析

單元教學在核心素養落地的過程中處于關鍵環節，單元復習教學要求教師整體把握教材，高屋建瓴地俯瞰學科知識體系，然后勾勒出一個個大主題，再相應地規劃課時與知識內容，并有序開展學習活動，使教學變得更具系統性和關聯性.方程（組）是研究相等關系的數學工具，不等式（組）是研究不等關系的數學工具.二者既有聯系又有差異，尤其在知識結構上十分類似.教學時宜采用類比的方式，通過引導學生類比等式的基本性質，充分發揮正向遷移的作用，復習并掌握不等式的基本性質.在此基礎上，類比解一元一次方程的思想方法，掌握一元一次不等式（組）的解法，并利用數軸表示其解集，發展幾何直觀.最后，引導學生根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題，體會不等式的模型思想，以及一次不等式、一元一次方程、二元一次方程之間的內在聯系.

一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式等單個知識點對七年級的學生而言只是“見不到森林的單棵小樹”，雖然學生對每個知識點都較為熟悉，對各自的概念、性質、應用都有所了解，但對它們之間的本質聯系并不十分清楚.《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：初中階段知識相對具體，高中階段數學知識相對抽象.教師應針對這一特征幫助學生完成從初中到高中數學學習的過渡，包括知識與技能、方法與習慣、能力與態度等方面.德國著名數學家克萊因（FelixChristianKlein）曾強調，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視和理解數學問題.只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單.基于此，筆者進行教學設計時，嘗試用“高中觀點”去解決“初中問題”，從方程、不等式等知識與函數的聯系出發進行研究，以核心素養為統領，串聯整合知識要點.在導入階段預設一組形式上屬于不同領域知識內容的練習，但它們的求解十分類似，通過引導學生梳理相關知識，建立知識與知識、知識與問題情境之間的關聯，感悟代數式、方程（函數）及不等式之間的聯系，幫助學生打通知識脈絡，厘清其橫、縱向聯系，建立知識結構，從函數視角審視包括一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組在內的“一次問題”，進一步內化理解這些問題在本質上都是一致的，引導學生達到既能通過“樹木”看到“森林”，又能依托“森林”俯瞰“樹木”的境界，實現教學目標的低起點、高立意，以期銜接初、高中數學思想，發展學生的數學學科核心素養.

3.教學目標設計

從數學學科核心素養的培養來看，本章內容著重體現數學抽象和邏輯推理的培養，輔以對數學內部數學建模的關注.基于此，結合“三教”理念，確定本節課的教學目標為：

（1）創設問題情境，引導學生自主復習等式、不等式的基本性質，體會等式與不等式之間的聯系，進一步掌握類比的方法，發展遷移能力.（教思考）

（2）引導學生在解決方程和不等式問題的過程中，滲透方程與函數思想，感悟轉化與化歸、數形結合等思想，提升學習能力.（教體驗）

（3）根據具體問題的數量關系，列出一元一次不等式（組），解決簡單的實際問題，進一步體會模型思想，使學生能更普遍地說明數量關系，精確地表達數學問題.（教表達）

4.教學重、難點

教學重點：探究一次方程、一次不等式（組）之間的本質聯系，從函數的視角審視“一次問題”.

教學難點：在解決方程和不等式問題中滲透方程與函數等數學思想.

二、教學過程

活動設計1：設計問題，創設情境

問題1：代數式2x-1是___次___項式.

問題2：當x=3時，代數式2x-1的值為___.

問題3：已知代數式2x-1的值等于5，則未知數x的值等于___.

問題4：若代數式2x-1的值大于5，則未知數x的取值范圍是___.

追問1：對于問題3，你是如何求解的？

生1：根據題意得到方程2x-1=5，解得x=3.

追問2：你能說說解方程的依據是什么嗎？

生1：等式的基本性質.

追問3：問題4呢？

生2：根據題意得到不等式2x-1＞5，解得x＞3.這里是根據不等式的基本性質求不等式的解集.

設計意圖：通過提出與代數式、代數式求值、方程、不等式有關的學生熟悉的基本問題，也可以當作一個綜合性操作任務，激發學生復習本單元的興趣和積極性，再現“數—字母—代數式—方程—不等式”的知識發生、發展過程，既體現了數學內部的聯系與和諧之美，也為引出后繼即將研究的“函數”埋下伏筆.

活動設計2：類比聯想，促進生成

師：等式與不等式之間有著廣泛而深入的聯系.通過類比之前學習的等式的內容、過程和方法，我們可以輕松搞定不等式.但是相似或相通的知識之間往往有一些差異，所以同學們一定要好好進行“對比”，要認真體會等式與不等式的共性和差異.

問題5：等式有哪些基本性質？不等式呢？

師生互動，教師引導學生填寫表1.

練習1：解下列方程和不等式，并把不等式的解集表示在數軸上：

學生練習，教師巡視，投影展示學生成果.

表1 等式與不等式的基本性質對比

設計意圖：類比等式的基本性質得到不等式的基本性質，既讓學生體會到“類比”是發現數學結論的重要手段，也能體現“等”與“不等”的辯證統一.

問題6：解一元一次方程和解一元一次不等式的基本步驟一般有哪些？

教師提問，引導學生填寫表2.

表2 解一元一次方程和一元一次不等式的基本步驟對比

問題7：在解不等式的幾個步驟中，哪些步驟可能會涉及不等號方向的改變？

生3：步驟（1）和步驟（5）.

師：解不等式時，若涉及“去分母”和“系數化為1”，要注意不等號的方向是否改變.

設計意圖：從學生已有的學習經驗和活動經驗出發，注重滲透哲學層面的數學思維方法——對比分析（發散思考）、綜合（集中思考），讓學生在等式與不等式的基本性質及解一元一次方程和一元一次不等式等數學探究活動中不斷體驗，逐步積累數學思維的經驗，形成和發展學生的核心素養.

問題8：不等式的解集有幾種表示形式？

生4：一種是用式子，即用最簡形式的不等式；另一種是用數軸，即在數軸上畫出范圍線.

設計意圖：不等式的解集的不同表征形式，其實就是用不同的語言（自然語言、圖形語言、符號語言）表達數學研究對象，這有助于學生養成借助直觀理解概念、進行邏輯推理的思維習慣，培養學生轉換與結合不同表征形式的能力.

活動設計3：運用規律，解決問題

問題9：什么是一元一次不等式組的解集？什么是解不等式組？

生5：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫作這個一元一次不等式組的解集.求不等式組解集的過程，叫作解不等式組.

練習2：解下列不等式組，并把它們的解集分別表示在數軸上：

練習3：用若干輛載重量為8t的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4t，則剩下20t貨物；若每輛汽車裝滿8t，則最后一輛汽車不滿也不空.請你算一算：有多少輛汽車運這批貨物？

師：你能說說這個問題中有什么相等關系和不等關系嗎？

生6：這個問題中相等關系有：貨物的總質量=汽車數×4+20.

生7：這個問題中不等關系有：

貨物的總質量＜全部汽車載重量之和，

貨物的總質量＞減少1輛后剩余汽車的載重量之和.

師生共同探討，寫出問題的解答過程：

解：設有x輛汽車，那么這批貨物共有（4x+20）t.于是，可得：

解這個不等式組，得5＜x＜7.

因為x只能取整數，所以x=6，即有6輛汽車運這批貨物.

問題10：說一說運用不等式（組）解決實際問題的基本過程.

師生共同總結利用不等式（組）解答實際問題的基本過程：①審題，設未知數；②找出不等關系；③列不等式（組）；④解不等式（組）；⑤檢驗，回答問題.

設計意圖：引導學生在數學知識的應用過程中，通過師生互動、生生互動表述自己的思考，把數學問題的解決過程表達出來，既能用筆頭表達，又能口頭表達，在相互表達、交流中增強學習體驗.從本質上說，就是讓學生學會用數學的語言表達世界，注重數學建模和數據分析核心素養的培養.

活動設計4：反思總結，拓展延伸

問題11：我們知道，隨著x取值的變化，代數式2x-1的值也會變化，如果用y表示它的值，就得到y=2x-1，這個式子大家有沒有研究過？

生8：它就是我們之前學習的二元一次方程.

追問1：請同學們仔細觀察方程2x-1=5與不等式2x-1＞5，它們與二元一次方程y=2x-1有什么內在的聯系？把你的想法與伙伴們交流.

生9：當y=5時，方程y=2x-1就變成了一元一次方程2x-1=5，當y＞5時，方程y=2x-1就變成了一元一次不等式2x-1＞5.

（學生回答，教師板書）

師：生10的發現非常棒！原來，二元一次方程竟然“隱藏著”這么多的秘密，從它的身上，我們既能發現一元一次方程，又能發現一元一次不等式.事實上，這里的二元一次方程就是我們今后要研究的一次函數.在數學中，函數、方程、不等式是密不可分的“孿生三兄弟”，“你中有我，我中有你”，在解決相關問題時，往往可以利用它們之間的內在聯系對問題進行轉化求解.對此，我們可以總結為：

等和不等是一家，變換角度去考察.

函數方程不等式，一同攜手走天涯.

設計意圖：函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律最基本的數學語言和工具，在解決實際問題中發揮著重要作用.用函數理解方程和不等式是數學的基本思想.雖然初一學生還沒有學習函數的相關知識，但通過問題引領學生動態分析函數與代數式、方程、不等式之間的內在聯系，并結合板書設計，引導學生從哲學的角度把新、舊知識統一起來，加強對函數、方程、不等式等知識的深度理解，使得學生的再認識不僅僅是在原來水平上的復習回顧，而是得到了系統的提升，有助于學生感悟數學內部的聯系，領悟數學思想方法，發展數學認知及加工水平，提升思維能力.最后用一首詩對等式、不等式、函數、方程等內容進行描述，注重“以文育人”，使學生感受到數學文化的魅力，深刻體會“數學如同中國詩詞一般美麗”，有助于提高課堂品質，提升學生的整體認識與人文素養.

活動設計5：交流收獲，布置作業（略）

三、板書展示

課堂生成的板書如圖1所示.

圖1

四、教學思考

1.數學教學是由問題驅動的

“問題”是一切科學的靈魂，數學也不例外.從古希臘數學到三百年前的微積分，數學的產生、發展過程一直是伴隨著自然科學的問題展開的.既然數學發展的過程是發現問題、分析問題、解決問題的過程，教師的任務就應該是通過合情推理，努力還原這個過程.所以，課堂教學應該是由問題驅動的.以問題為載體，有助于培養學生的閱讀能力，培養學生分析問題、解決問題的能力和發現問題、提出問題的能力，進而培養學生的數學學科核心素養——數學建模和數學抽象，是數學復習教學更為重要的目標，如此立意能提升教學的品味.

在教學設計中應把握住兩種邏輯，即教材的“知識邏輯”（教什么）和教學的“思維邏輯”（如何教）.指向數學學科核心素養的教學設計，就是既能微觀聚焦于具體模塊知識的價值與功能，又能圍繞大概念，以全局大視野統整數學知識、觀念與過程，實現課堂教學與學科素養發展的對接.因此，筆者一改傳統復習課的流程——知識回顧、例題講解、方法總結、習題訓練等環節，而是圍繞“函數”這個“大概念”，通過4個“簡單”問題組成的問題串引入課題.首先，這些問題本身有一定的數學內涵，與課程的教學目標水乳交融，能切中教學目標；其次，注重知識的“生長點”與“延伸點”，把復習內容置于整體知識體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，為學生進一步學習新知搭建腳手架，促進學生數學思維的提升和學習經驗的有效積累，豐富自身知識結構；最后，重視引導學生進行哲學層面的思考，通過問題引導學生探索二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式之間的聯系，居高臨下地幫助學生建構起知識框架.這樣的教學始終讓學生去發現、去嘗試，教師在旁引導，最終讓學生發掘教學內容的本質價值，實現從“掌握一種知識的數學”到“掌握學習數學知識的方法”的轉變，發展了學科核心素養.

2.單元復習課要關注學生素養的提升

單元復習課如何體現新課程理念？改變學生的學習方式，提高復習效率，發展學生的學科素養，是教師教學中需要認真思考的問題.在明確本節內容教學目標和教學任務的前提下，筆者以學生的“學”為出發點，將評價與教師的教和學生的學有機地融為一體.首先，通過創設情境鼓勵學生自主學習，讓學生“舉手不及，躍而可獲”，經歷“體驗數學發現和創造的過程”；其次，循序漸進、有的放矢，通過幾道例題引導學生逐步把本單元的知識點進行強化、系統化，在等式與不等式的對比中，在方程與不等式的聯系中，重在教學生“怎樣想”，而不僅僅教“怎樣做”；再次，順勢而為，注重初、高中數學學習的銜接，在總結時回歸引入問題，通過二元一次方程“誘導出”新的研究對象——函數，通過問題設計引導學生思考函數、方程、不等式之間的邏輯關系，感悟其中蘊含的數學思想方法、問題解決的策略，幫助學生將知識結構化，逐步形成良好的思維能力；最后，注重數學文化的滲透，以詩的形式對本節課復習內容進行總結，凸顯數學之美，使學生領悟數學的獨特魅力.

3.踐行“三教”理念是培養數學學科核心素養的有效路徑

2014年1月，貴州師范大學呂傳漢教授提出在數學教學中教思考、教體驗、教表達（簡稱“三教”）的教育理念.課堂教學中踐行“三教”理念對培養學生數學素養、構建“智慧課堂”具有重要意義：把隱性的數學素養，通過創設問題情境，設置問題串，激發學生思考，在“教思考”的過程中將其顯性化；通過學生體驗和經歷數學知識的發生、發展和形成過程，在“教體驗”的過程中讓學生在感受、體會、領悟和反思中又將其隱性化；引導學生在“說數學”中表達自己的見解、感受、思考和智慧，在“教表達”的過程中再次將其顯性化.筆者在本節課的教學中，正確把握“三教”理念，以“代數式、方程、不等式與函數的聯系”創設大主題情境，以“函數”觀念為大觀念，以“一元一次方程和一元一次不等式”為大活動過程，旨在培育學生的思辨能力，并在“做數學”“說數學”中積淀學生個性化經驗，促進學生數學學科核心素養的形成.整個過程在“全局視野”的統領下，始終凝聚學生的學習和思考，有利于學生深度學習的發生和學科素養的發展，同時為學生打開更多通往未知世界的窗，其意義和價值遠遠超過單純的知識傳授或解題訓練.