化教材“盲點(diǎn)”為教學(xué)“亮點(diǎn)”
——基于人教版6.1“平方根（第二課時）”的思考

☉重慶市璧山中學(xué) 王 偉

☉重慶市璧山區(qū)教科所 劉志成

新教材最突出的特點(diǎn)是加強(qiáng)了真實(shí)的問題情境引入，強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的探究性活動，更關(guān)注學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)方式.但教師在使用教材時，在思維的嚴(yán)謹(jǐn)性上有些淡化，容易造成課堂教學(xué)中出現(xiàn)認(rèn)識上的盲點(diǎn)，使得學(xué)生學(xué)習(xí)時產(chǎn)生不少困惑，又無法得到合理的解釋.下面將“平方根（第二課時）”的課堂教學(xué)實(shí)錄展示給大家.

一、課堂實(shí)錄

問題1：怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積較大的正方形？

圖1

學(xué)生操作后，展示了如下成果：

生1：可以拼成圖2.

生2：可以拼成圖3.

生3：可以拼成圖4.

圖2

圖3

圖4

問題2：你知道你們設(shè)計(jì)的大正方形的邊長是多少嗎？為什么？

生：由于大正方形的面積為S=2，設(shè)邊長為a，那么a2=2，那么a=

問題3：你知道有多大嗎？

生：比1大但比2小.

師：你是怎么知道的？

生：a=1時，S=1，a=2時，S=4.由于S=2，所以比1大但比2小.

師：回答很漂亮！那么，我們能不能做更精確的估計(jì)？

學(xué)生討論后，感覺有些吃力.

師：請大家算一算a=1.4和a=1.5時S的值，能得到什么結(jié)論？

師：那么我們能再精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位嗎？請大家計(jì)算a=1.41和a=1.42時S的值.

以下略，探索過程如下：

表1

教師小組點(diǎn)評：通過學(xué)生的探究過程，體驗(yàn)無限不循環(huán)小數(shù)的存在，為無理數(shù)概念的引入做好了鋪設(shè).

問題4：還可以繼續(xù)下去嗎？繼續(xù)探索，并判斷：a是有限小數(shù)嗎？

生：還可以繼續(xù)進(jìn)行.

師：那么a是有限小數(shù)嗎？

生：不知道.

生：好像是喲.但不太肯定！

生∶1.414213562.

問題5：你發(fā)現(xiàn)有理數(shù)是什么樣的小數(shù)？

生：有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

師：像上面研究過的a2=2中的a是什么小數(shù)呢？

學(xué)生開始猶豫.最后比較順利回答：無限不循環(huán)小數(shù).

教師小組點(diǎn)評：本環(huán)節(jié)通過教師指導(dǎo)，師生合作，通過有理數(shù)與無理數(shù)的對比，進(jìn)一步感知數(shù)域的擴(kuò)展，為無理數(shù)概念的形成打下了基礎(chǔ).

2.形成結(jié)論

3.有理數(shù)與無理數(shù)的主要區(qū)別

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)則不能.

4.小結(jié)

在課堂小結(jié)時，教師提出：這節(jié)課你學(xué)到了什么？你還有什么困惑？

在民主的氛圍中學(xué)生開始慢慢議論，接著聲音越來越大，在學(xué)生的質(zhì)疑中，下課鈴聲響起，教師來不及了解學(xué)生的困惑就匆忙下課了.

小組總體評價：該課積極為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)交流的平臺，學(xué)生參與度很高，學(xué)生學(xué)習(xí)方式多樣化，體現(xiàn)了新課改的精神.

二、兩種不同觀念

課下，筆者了解了學(xué)生對這節(jié)課的想法，并將其梳理出來，與本組教師進(jìn)行了交流，在交流中，筆者發(fā)現(xiàn)了兩種不同觀念的交鋒，現(xiàn)呈現(xiàn)如下：

觀點(diǎn)1：圖2、圖3、圖4為什么是正方形？

學(xué)生觀點(diǎn)：我們拼出了圖2、圖3、圖4，我們感覺是正方形，但如何證明呢？

教師觀點(diǎn)：這個問題不需要證明，讓學(xué)生感知到就可以了，一方面這是明顯的結(jié)論，另一方面，證明正方形是初二下學(xué)期的內(nèi)容，現(xiàn)在證明不可取.

學(xué)生觀點(diǎn)：從我們的探究看，也只是探究了其中的一部分，計(jì)算器上顯示的是有限的幾位數(shù)，你怎么知道它真的就是無限不循環(huán)小數(shù)呢？

教師觀點(diǎn)：在教材P88的“閱讀與思考”中出現(xiàn)了“為什么說不是有理數(shù)？”，因?yàn)樯婕傲朔质降挠嘘P(guān)問題，這是初二下學(xué)期才學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時證明這個問題需要花太多的時間，會導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容無法完成，所以可以不證明.

觀點(diǎn)3：為什么要說0.1010010001……是無理數(shù)？

學(xué)生觀點(diǎn)：在翻閱后面的教材“實(shí)數(shù)”時，我看到了“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)”，我知道如、π等這樣的無理數(shù)可以在數(shù)軸表示出來，那么0.1010010001……該如何在數(shù)軸上表示呀？如果不能表示出來，說明無理數(shù)不是都在數(shù)軸上.

教師觀點(diǎn)：我們也不知道如何在數(shù)軸上刻畫，只做結(jié)論陳述，讓他們記住就行了，在我們的教輔資料上出現(xiàn)了這樣的數(shù)，指導(dǎo)學(xué)生抓住概念就可以了，它首先滿足無限，還有不循環(huán)，它肯定是無理數(shù).因?yàn)樗强陀^存在的，萬一在考試中出現(xiàn)了怎么辦？因此應(yīng)該講.

對以上學(xué)生想法，有教師認(rèn)為是鉆“牛角尖”，筆者不這樣認(rèn)為，以上兩種觀念的交鋒反映了我們教材和課堂教學(xué)存在的問題，從而造成學(xué)生認(rèn)知上的“盲點(diǎn)”.

三、解決問題的辦法

杜威把教學(xué)分為五個步驟：設(shè)計(jì)情境，產(chǎn)生真實(shí)的問題，從事必要的觀察，展開問題可能的途徑和方法，檢驗(yàn)和驗(yàn)證解決問題的方法是否有效.

為什么教師認(rèn)可的好課，學(xué)生卻有如此多的疑惑？筆者經(jīng)過長時間的思考，認(rèn)為所謂“盲點(diǎn)”就是教材沒有做出明確的解釋，課堂教學(xué)也容易忽略而造成學(xué)生認(rèn)知障礙的地方.根據(jù)杜威的教學(xué)理論便得到了合理的解釋.就本課教學(xué)具體分析如下：

1.設(shè)計(jì)真實(shí)、合情的情境，是學(xué)習(xí)的前提

圖5

新的問題又出現(xiàn)了，那就是圖2、圖3、圖4是正方形嗎？教材沒有證明，教師也往往默認(rèn)了.要解決這個問題，其實(shí)學(xué)生是有基礎(chǔ)的.筆者查閱了小學(xué)關(guān)于正方形的描述——“四個角相等，四條邊相等的四邊形叫作正方形”，我們結(jié)合全等三角形的知識就可以解決.

對“正方形的問題”，一方面有新版教材的問題，另一方面教師在處理教材時，認(rèn)為大家都認(rèn)可，所以忽略了證明.如果教師不解決學(xué)生提出的“正方形的問題”，那么我們就缺乏合理展示的背景，這是本課知識結(jié)構(gòu)得以發(fā)展的基礎(chǔ).因此建議教材提出“你拼出的圖形是正方形嗎”，以此警醒我們的課堂教學(xué)，更真實(shí)地展示的背景，使得課堂教學(xué)探究活動得以有力推進(jìn)，這何嘗不是教學(xué)的亮點(diǎn)之一呢？

2.設(shè)計(jì)合理的探究途徑，是學(xué)習(xí)的核心

現(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為，教學(xué)目標(biāo)就是要關(guān)注學(xué)生課堂的達(dá)成度，而不是追求教學(xué)內(nèi)容的完整性，面對學(xué)生的困惑，教師應(yīng)當(dāng)有所作為.學(xué)習(xí)中學(xué)生產(chǎn)生了困惑，就是教學(xué)活動中的閃光點(diǎn)，教師應(yīng)及時抓住，適時引導(dǎo)，合情推理，那么課堂教學(xué)就會變得更有活力.

筆者認(rèn)為，在初中階段，對于無限無規(guī)律問題，使用不完全歸納法得不到合理說明的，使用不完全歸納法學(xué)生是能夠接受的.因此，我們不僅應(yīng)該深刻理解教材反映的數(shù)學(xué)知識，準(zhǔn)確解析概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法，而且應(yīng)當(dāng)把握學(xué)生理解概念時容易產(chǎn)生困難或錯誤的地方，并在此過程中，讓知識留下思維的印記，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，培育理性精神.為了解決這個問題，建議將“閱讀與思考”作為教材學(xué)習(xí)內(nèi)容重要的組成部分加以學(xué)習(xí)，那么問題便可得到很好的解釋.

3.設(shè)計(jì)檢驗(yàn)和驗(yàn)證問題場所，是學(xué)習(xí)的保障

“0.1010010001……是無理數(shù)”無法得到有效驗(yàn)證，因?yàn)椤?.1010010001……是無理數(shù)”在數(shù)軸上無法做準(zhǔn)確的刻畫.為此教材是這樣描述的：很多平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)又叫作無理數(shù).例如都是無理數(shù)，π=3.14159265……也是無理數(shù).這些無理數(shù)都有真實(shí)的背景，如果按極限來理解0.1010010001…=是一個發(fā)散的數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)我們對這個數(shù)如何驗(yàn)證呢？有教師認(rèn)為它是一個“人造數(shù)”，“告訴學(xué)生它真的在數(shù)軸上就行了，只是現(xiàn)在我們知識有限無法刻畫而已”，問題真的是這樣嗎？筆者也無法正面回答這個問題，所以咨詢了有關(guān)人士，他們對這個問題也無法做出合理的解釋，筆者查閱了相關(guān)資料也沒有相關(guān)介紹，大家都回避了這個問題，看來教材中沒有說這個問題是有一定道理的.

通過反思，筆者認(rèn)為要把教材“盲點(diǎn)”化為教學(xué)“亮點(diǎn)”，這是兩個層面的問題.教材主要面對“教什么”的問題——為了有效地達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)所設(shè)定的素養(yǎng)目標(biāo)，課程研制者建議“一般應(yīng)該教什么”.課堂教學(xué)內(nèi)容同時面對兩個問題：第一，針對具體情境，對于這一班乃至這一組、這一個學(xué)生，為使他們或他（她）更有效地達(dá)成既定的課程目標(biāo)，“實(shí)際上需要教什么”；第二，為使這一班乃至這一組、這一個學(xué)生能更好地掌握既定的課程內(nèi)容，“實(shí)際上最好用什么去教”.因此，面對教材中的“盲點(diǎn)”，關(guān)鍵還是“怎么教”的問題.在知識的學(xué)習(xí)探究中，不應(yīng)因自己的“疏忽”而造成學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的“盲點(diǎn)”，執(zhí)教者應(yīng)抓住“盲點(diǎn)”設(shè)計(jì)合情、真實(shí)的情境，使用合理的探究途徑和方法，這樣學(xué)習(xí)者才能習(xí)得數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法而產(chǎn)生“亮點(diǎn)”，在數(shù)學(xué)的天地里留住一群熱愛數(shù)學(xué)的人！