瓶子還是原來的瓶子，水也是原來的水
——“妙用轉化思想，巧解體積問題”的三個典型案例

甘肅省隴西縣實驗小學 王治民

【案例一】沙子還是原來的沙子，水還是原來的水

一個裝了酒精的瓶子，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖所示。它的容積為200.96 立方厘米，當瓶子正放時，瓶內酒精的液面高度為6 厘米，而瓶子倒放時，空余部分的高為2 厘米，請問瓶內酒精的體積是多少立方厘米？

【分析與解答】

解答本題的關鍵在于使學生理解瓶內酒精形狀前后變化的內涵，可通過以下幾步來完成：

（一）明確題意，確定思路

首先引導學生觀察：在瓶子方位的前后變化過程中，有哪些相同的地方？學生很快就發現：瓶子的容積沒變，水的體積也沒變。還有不變的地方嗎？有一位同學回答：我覺得瓶內空白部分的體積也應不變。這正是本題的難點所在，而解決問題的突破口就在瓶子倒放這一變化。

（二）類比遷移，突破難點

為了便于學生理解，我們可運用裝了沙子的透明長方體塑料盒進行演示，讓學生仔細觀察并理解：在長方體盒子的不同變化中，盒子的體積沒有變化，里面沙子的形狀只是隨著盒子的位置變化而改變了形狀，但沙子還是原來的沙子，它的體積沒有變化；盒內空白部分的體積也是隨著盒子的位置變化改變形狀，體積也完全相等。瓶子裝水的道理也是一樣：瓶子還是那個瓶子，水還是原來的水，只是瓶子在兩種狀態下空間的形狀變了，體積卻完全相等。由此可見，不管什么形狀的容器，所裝的東西體積不變，空間的體積也不變。問題中瓶子的不同變化，其實是相同體積的形狀變化，體現的是數學的轉化思想，只不過長方體塑料盒裝沙子是規則體積的變化，大家容易理解，而瓶子裝水是不規則形狀的轉化，大家缺乏生活基礎，所以不好理解。

通過以上兩種具有不同形狀、相同內涵的問題比較，學生在類比的基礎上明白了體積的轉化規律，解答本題的難點也就完全突破。

（三）完成轉化，解決問題

根據已知條件，瓶內水的形狀為圓柱體，只知道它的高，無法直接計算，所以要求水的體積，只能用瓶子的容積減去空白部分的體積。

通過前面的探索結果，瓶子倒過后，上面空出的圓柱體部分就是之前的空白部分，這一過程的本質是巧妙地將不規則的形狀轉化成了規則的圓柱體，由無法測量轉化為可以測量和計算的規則圖形，真是妙不可言。“瓶內水的液面高度為6 厘米，而瓶子倒放時，空余部分的高為2 厘米”，說明瓶內不規則的空間經過倒放，轉化成了高為2厘米的圓柱體，也就是說整個瓶子的容積是一個高為（6+2）厘米的圓柱體。由此可知，瓶子的底面積=200.96÷8=25.12（平方厘米），水的體積=25.12×6=150.72（平方厘米），問題圓滿解決。

有了上面的基礎，下面一題雖然形式有所變化，但本質仍然相同，同學們一定能觸類旁通，解決起來也是得心應手。

【案例二】

如下圖，一個酒瓶呈圓柱形，深30 厘米，底面內直徑10 厘米，瓶內酒深15 厘米。把酒瓶塞緊后使其瓶口朝下倒立，這時酒深25厘米。問：酒瓶容積是多少？

【分析與解答】

根據案例一的經驗，酒瓶倒立后，原來不規則的空間轉化成了30-25=5 厘米的圓柱體，也就是酒瓶的容積等于和它底面積相等，高為15+5=20 厘米的圓柱體體積。

解答：30-25=5（厘米），3.14×（10÷2）2×（15+5）=3.14×25×20=1570（立方厘米）。

【案例三】

一個長方體玻璃容器，從里面量長5 分米,寬3 分米,高4 分米。向容器中倒入36 升水，再把一段足夠長的底面積是3 平方分米的長方體鋼材垂直插入水中，長方體鋼材的底面與容器底面完全接觸，這時容器內水深多少分米？

【分析與解答】

此題如果按照阿基米德測量皇冠體積的方法來做，具有較大的難度，因為物體完全沒入水中時，上升部分的水的體積就是該物體的體積。而當物體只有一部分沒入水中時，插入原來水面深度的部分會導致水面上升，而上升部分體積的一部分又被長方體所占，而這部分體積又會導致水面上升。所以，我們可做如下思考：

根據容器中水的體積36 升和長方體的長、寬可知：水面的高為36÷5÷3=2.4（分米），所以假設長方體插入水中的部分導致水面上升了x分米，則插入后水面的高度為（2.4+x）分米，體積為5×3×（2.4+x）立方分米，而這個體積等于插入水中的長方體的體積和原來水的體積之和，即36+3×（2.4+x）立方分米，由此可得方程：5×3×（2.4+x）=36+3×（2.4+x），解得：x=0.6。但這一思路因學生空間想象能力的限制而很難理解。如果我們繼續運用轉化的方法，問題就變得相當簡單：將底面積是3 平方分米的足夠長的長方體鋼材插入水中，長方體鋼材的底面與容器底面完全接觸，在本題來說，就是把底面積3 平方分米，高4 分米的部分削掉，不能再裝水，也就相當于將原來容器的底面積減去了3平方分米，用底面積5×3-3=12（平方分米）的容器裝了36 升水，已知體積和底面積，則水面的高度為36÷12=3（分米），減去原來的水面高度2.4 分米，水面上升了0.6分米。

類比方法和轉化思想的應用，讓復雜的問題簡單明了，極大地降低了問題的難度，也發展了學生的空間想象能力，拓展了思維，讓學生充分感受到了數學的魅力，激發了學習和研究數學的興趣，對學生未來的發展也會產生積極的作用，所以我們在教學中靈活應用，一定會起到事半功倍的作用。