高中函數解題思路多元化能力培養的基本途徑

江蘇省江陰市第一中學 孫曉芳

高中函數解題思路多元化是多數教師在實際教學中十分重視的一個方面。通常來說，一題多解是培養學生解題思路多元化能力的良好途徑之一，具體來說，又可細分為通過一題多解培養發散思維、通過一題多解培養創新思維，以下擬結合典型例題對此進行具體探討，期冀對相關教學工作者有所啟示。

一、一題多解培養發散思維

發散思維是一種從不同角度分析問題的思維方式，具體到實際解題中，即找到不同的切入點，采取不同的思路解題。發散思維可以說是解題思路多元化的基礎，而培養學生發散思維的基本途徑之一即為一題多解。學生在一題多解的過程中，自然而然地會從多個角度、不同的出發點思考問題如何解決，可以說每一次一題多解訓練都是一次鍛煉發散思維的良好機會，在具體教學中，教師都要注重選取一些較有代表性的函數例題，將之作為培養學生發散思維的載體。在長期的一題多解訓練中，學生的發散思維水平亦必將在潛移默化中獲得顯著提升。我們來看一道具體例題：求函數f（x）=x+（x＞0）的值域。

該題比較簡單，但具有多種解題思路，屬于較為典型的一題多解函數題目。其解法共有判別式法、單調性法、配方法、基本不等式法四種，分別如下：

（1）判別式法：設y=x+，則有x2-yx+1=0，由Δ=y2-4 ≥0可得出y≥2，當y=2 時，由x2-2x+1=0，得出x=1。故當x=1 時，f（x）=x+（x＞0）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

（2）單調性法：首先判斷函數f（x）=x+（x＞0）的單調性。 取0＜x1＜x2， 則 有。 當0＜x1＜x2≤2 時，有f（x1）＞f（x2），故在區間（0，1]上，f（x）是減函數；當2＜x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則f（x）在區間（2，+∞）上是增函數。這時即可由f（x）的單調性知道當x=1 時，f（x）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

綜合評判上述各解法，判別式法主要用于二次函數，具有一定的局限性；單調性法注意分類討論；配方法和基本不等式法是相對簡便的方法，但技巧性較高，相對不易想到。在講解和剖析題目的過程中，教師要能夠引導學生明了各種思路的分析切入點以及主要特點，幫助學生在深度思考中切實掌握各種思路，同時鍛煉發散性思維。

二、一題多解培養創新思維

創新思維是數學思維品質的一個重要方面，與發散思維有著密不可分的關系，大體上二者可視為相輔相成的關系。高中函數題類型多變，創新空間很大，因而學生也需要具備相應的創新思維水平，在一題多解的過程中，教師要注重引導學生采取創新的思路來解答，并在多種思路的講解和比較中突出創新性的思路，長此以往，如同發散性思維的培養一樣，學生的創新思維水平亦必將在潛移默化中獲得顯著提升。現在來看一道具體例題：已知函數f（x）=|2x-1|，其值域為（2，6），求其定義域。

該題乍看很簡單，但實際上帶有一定的難度，有些學生竟感到無從著手，因為解題時需要先將已知條件轉化成不等式問題，即從2＜|2x-1|＜6，許多學生想不到。轉化成不等式問題后，問題就較為簡單了，可以將2＜|2x-1|＜6 拆分為2x-1|＜6 和|2x-1|＞2 兩個不等式，分別求解，進而將兩式的解集綜合，最終得出x的取值范圍。

但上述思路僅屬于一般性的思路，我們還可以采取一種創新性的思路來求解該題。分析題設可以發現，該題的難點主要是絕對值的存在，如果能夠首先去掉絕對值，從而簡化不等式，問題也就迎刃而解了。根據絕對值的定義，2＜|2x-1|＜6 去掉絕對值后變成兩個式子，即2＜2x-1＜6 和-2＜2x-1＜-6，這時再采用常規性的解題思路就很容易解答該題了。在講解和剖析該題的過程中，教師注重強調這種具有一定創新性的思路，啟迪學生思維，促進其創新性思維的發展。

本文結合具體題例簡要探討了高中函數解題思路多元化培養的兩條基本途徑，即一題多解培養發散思維、一題多解培養創新思維。事實上，高中函數解題思路多元化能力的培養無疑是一個兼具深度和廣度的話題，需要一線教師在教學實踐中不斷積極探索和深入總結，從這個意義上講，本文僅為拋磚引玉，尚盼有識者指教。