《均值不等式》課堂設(shè)計(jì)

徐愛功 張立英

摘 要 本文從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過程，板書設(shè)計(jì)，效果分析八個(gè)方面說說我對(duì)這堂課的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞 均值;不等式;課堂設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：O122.3?????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）14-0186-01

均值不等式是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。特別是對(duì)不等式的證明和求最值問題極為重要。

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：

1.掌握均值不等式以及其成立的條件;

2.能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問題。

（二）過程與方法：

1.探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法;

2.培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1.通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神;

2.通過對(duì)均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度;

3.認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：均值不等式的推導(dǎo);均值不等式及其成立的條件。

難點(diǎn)：均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

三、教學(xué)方法：

突出重點(diǎn)的方法：將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來突出均值不等式的推導(dǎo);通過多媒體展示、精講點(diǎn)撥來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：采用重復(fù)法、辨析法、有效訓(xùn)練來突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。

四、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

（一）課前預(yù)習(xí)——學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí);

（二）分組討論——合作探究、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn);

（三）積極參與——敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭(zhēng)相回答;

（四）自主探究——學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高。

五、教學(xué)過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開展本節(jié)課的教學(xué)。第一步：課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對(duì)課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問題：

“今有一臺(tái)天平，兩臂不等長(zhǎng)，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a，b，問：能否用a，b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式。

抽出兩名同學(xué)在黑板上完成2、3

2.均值定理：_____________________________________

預(yù)備定理：a²+b²≥2ab（a，b∈R），仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理

3.已知ab>0，求證：，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。

其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問題，教師巡視并參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥。

①適用范圍a，b∈________，對(duì)嗎？

②等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________。

③語言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù)。

④把不等式_________________又稱為均值或________不等式。

⑤數(shù)列觀點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)。

⑥幾何解釋：________________。

⑦常見變形a+b≥_______。

_???? _______，即a+b≤___________。例：

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100m²，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值;

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。

首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生捉錯(cuò)，然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解。初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥

1.例：求函數(shù)????????????? 的最大值，及此時(shí)x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號(hào)，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過巡視發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)指正！該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2.多媒體展示辨析對(duì)錯(cuò)：（略）

（三）有效訓(xùn)練

1.下列有效的最小值為2的是（）。

A.????????? B.

C.? D.

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長(zhǎng)為一常值C（C>0），當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過后，若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善。

1.兩個(gè)重要不等式

a²+b²≥2ab（a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）

（a，b∈R⁺，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）

2.用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

第三步：課后訓(xùn)練

（一）雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1.課本第71頁練習(xí)A、B;

2.已知x<-1，求 ????????????????的最值;

（二）拓展提高（供選做，可小組合作完成）：

3.a>0，b>0，且，求a+b最小值。

4.求函數(shù)的最小值。

通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

六、板書設(shè)計(jì)

（一）均值不等式及推導(dǎo)。

（二）均值不等式的應(yīng)用。

（三）小結(jié)。

七、效果分析

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式及其成立的條件;能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。