研究函數(shù)必須堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則

胡衛(wèi)紅

摘 要 函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，在研究函數(shù)問題時，如不加以注意，極易出錯。因此在解函數(shù)題中，必須反復(fù)強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”原則，反復(fù)強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有幫助。

關(guān)鍵詞 定義域;優(yōu)先;原則;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號：A，U491.2+32，{DF711}??????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）14-0151-01

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域通常由所研究問題的實(shí)際背景確定，不僅要給出函數(shù)解析式，更要理解它的定義域，函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合。在解函數(shù)題中，必須反復(fù)強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”原則，反復(fù)強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有幫助。

一、研究函數(shù)解析式必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須優(yōu)先考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。

例1.將邊長為的鐵絲折成一條邊長為矩形，求矩形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？

解：因?yàn)榫匦蔚囊贿呴L為米，則另一邊長為米，由題意得：，故函數(shù)關(guān)系式為：。

如果解題到此為止，則函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。因?yàn)榫匦蔚倪呴L和面積不可能為負(fù)數(shù)，因此應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：。

在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。

二、研究函數(shù)的最值必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤。

例2.求函數(shù)的最值.

解：∵，∴當(dāng)時，。

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。

在函數(shù)定義域受到限制時，若能讓學(xué)生注意定義域?qū)瘮?shù)最值的影響，便能提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、研究函數(shù)的值域必須優(yōu)選考慮函數(shù)的定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值域也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，必須優(yōu)先注意函數(shù)定義域。如：

例3.求函數(shù)的值域。

錯解：令

∴，

故所求的函數(shù)值域是。

分析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，。故所求的函數(shù)值域是。

注意，在用換元法求函數(shù)值域時，必須注意變量的范圍和隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。

四、研究函數(shù)奇偶性必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域

例4.判斷函數(shù)的奇偶性。

解：∵，∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱，∴函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

若學(xué)生沒有注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論：

∵

∴函數(shù)是奇函數(shù)。

五、小結(jié)

判斷函數(shù)的奇偶性，必須先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，若定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則函數(shù)就不存在奇偶性。

綜上所述，在求函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值、值域、奇偶性等問題中，若能引導(dǎo)學(xué)生注意到函數(shù)定義域的變化對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性。