關于“重建三角”初等數學新體系的研究

摘 要：數學教學需要與時俱進，張景中院士在2006年提出“重建三角”初等數學新體系，從三角形內角和的知識以及三角形面積公式出發，直觀而嚴謹地給出了正弦的新定義，為初中數學課程改革提供了一條新思路。“重建三角”新體系有直觀的三角函數定義方式和簡易卻嚴謹的推理過程。在新體系中，三角、幾何、代數間彼此滲透，有助于培養學生的數學推理能力和幾何直觀能力。同時，在“重建三角”實驗教學中也取得了一些功效。

關鍵詞：初等數學;重建三角;新體系

一、“重建三角”初等數學新體系的背景

1.我國初中數學三角課程的發展

中華人民共和國成立以來，我國陸續頒布了十多個初中數學教學大綱，對三角這一塊內容，主要要求學生了解銳角和特殊角的三角函數值以及運用三角函數解決直角三角形中的問題。2011年教育部制定的《義務教育數學課程標準》對三角內容的學習要求幾乎沒有改變，要求學生探索并認識銳角的三角函數，了解特殊角的三角函數值，會用計算器求已知銳角的三角函數值、能用銳角三角函數解直角三角形[1]。當前初中三角函數內容是基于直角三角形中對邊、鄰邊、斜邊的關系對三角函數下定義，而且對三角函數的認識停留在銳角和特殊角上面。由此可見，我國對初中數學中的三角內容要求不高，其主要目的是給初中生減負。

2.“重建三角”初等數學新體系的提出

“重建三角”一詞來源于2006年張景中院士在《數學教學》上發表的《重建三角，全局皆活——初中數學課程結構性改革的一個建議》[2]，他提出“重建三角”的初中數學新體系，將三角、幾何、代數彼此滲透。其實早在1980年，張景中院士就在《中學數學教學》發表了《改變平面幾何推理系統的一點想法——略談面積公式在幾何推理中的重要作用》《改變平面幾何推理系統的一點想法（續）——略談面積公式在集合推理中的重要作用》，深入探討平面幾何推理系統，對“重建三角”的提出有很大影響。2009年，張景中院士出版了《一線串通的初等數學》，該書從三角形內角和的知識以及三角形面積公式出發，直觀而嚴謹地給出了正弦的新定義，為初中數學教學的改革提供了一條新思路。

二、“重建三角”初等數學新體系的理論探討

1.直觀的三角函數定義方式

“重建三角”體系是用面積法建構三角，把邊長為1，有一個角為A的菱形面積記作sinA，緊接著可以定義平行四邊形和三角形的面積，然后得出正弦的基本性質。這個定義方式從面積出發，而面積是小學就重點介紹的內容，在學生的認知體系中，面積是非常直觀的概念，容易理解。這個定義不再需要相似三角形和比的知識作為鋪墊，而且脫離了直角三角形這個限制，對于直角和鈍角也同樣試用，這樣就可以用這個定義去研究一系列當前初中數學三角內容所不能研究的問題。

另外，先只談正弦而不談其他三角函數，學生學起來更容易。相比之前的正弦、余弦、正切一起定義，學生往往會出現記不住，混淆使用等問題，這里就只需要記住正弦的定義和簡單性質。在學習了正弦的相關內容后，引入余弦cosA=sin（90°-A），要求A是0°～180°的角，并且余弦的后續學習完全可以利用正弦的知識，這樣，學生對三角的學習就經歷了知識的生成與理解的過程。

2.簡易卻嚴謹的推理過程

定義了正弦之后，就可以使用代數計算的方法推導正弦定理、正弦和角公式、勾股定理、正弦的增減性等內容，使得推導過程成為一個簡潔有力推理體系，適合初中學生的認知水平。比如，通過對三角形的面積公式S△ABC=—=—=—進行變形即得到了正弦定理，過程非常簡單，而且正弦定理成了推導許多幾何命題的有力工具，如相似三角形和勾股定理，這樣就能在三角中解決這兩個知識點。與傳統教學相比，“重建三角”的推理體系簡易卻嚴謹，學生學起來相對輕松。

3.三角、代數和幾何相互滲透

三角函數是連接代數與幾何的橋梁。原有的初中數學體系中，三角、代數、幾何的溝通并不多，三角是在相似三角形內容的后面，有點類似于對相似三角形內容的補充與拓展，而三角內容的學習與代數的聯系不緊密，對于銳角的三角函數值，課標要求是會用計算器求值。這樣，三角、幾何、代數這三塊內容無形之中有了屏障，無法發揮三角函數的橋梁作用。

“重建三角”初中數學新體系，用面積法定義正弦，即用幾何引出三角，用的是代數的方法;接著利用定義推理出性質和定理，也是用代數的方法。這樣做充分體現了三角內容在初中數學知識體系中的重要地位，也讓三角、幾何、代數之間的屏障消失。三者之間的相互滲透，是“重建三角”新體系的基本方向，也對學生數學思想方法的形成和數學思維能力的培養起到了推動作用。

4.學生幾何直觀能力的獲得

史寧中教授認為，平面幾何的教育價值是培養學生的推理能力和幾何直觀能力。現有的初中平面幾何體系重視演繹體系而缺少幾何直觀。尤其是三角體系對學生的要求并不高，只需要掌握一些簡單的內容即可，培養學生的幾何直觀能力無法體現。“重建三角”新體系將許多高中知識下放到初中學習，并且用新定義的方式引出許多性質和定理，這個過程可以充分培養學生的幾何直觀能力，而且對初中平面幾何內容是個很好的補充，改變初中數學平面幾何難度低的現狀。

三、“重建三角”實驗教學的進展

目前，“重建三角”初等數學新體系的實驗教學在廣東、四川、貴州等地展開，大部分學校是采用整合教材的方法進行實驗教學，也有學校是通過校本課程的方式開展。實驗結果表明，學生更容易認識和理解“重建三角”新體系下的三角知識內容，他們認為新體系下的三角內容更加直觀和簡單。相比于同層次的其他班級，采用“重建三角”新體系學習的班級學習成績更好。另外，學生解決幾何問題和綜合問題的能力得到提升，能從多個方面對問題進行探討。但同時，實驗教學也發現了一些問題，比如教學資源不足、教師能力水平有限、學生配套練習不足等。總而言之，“重建三角”能較好地拓展學生的思維，提升學生的成績，但仍需完善不足之處。

四、結論與建議

“重建三角”初等數學新體系對初中數學教學的改革提供了參考。“重建三角”新體系具有直觀的三角函數定義方式和簡易卻嚴謹的推理過程，在這個新體系下，三角、幾何、代數間相互滲透，有助于培養學生的幾何直觀能力。在實驗教學初期也表現出了非常好的進展，但也有些不足。希望能加快“重建三角”教學方案的完善和實驗教學的進度，加強對“重建三角”實驗教學中教師的培訓并且能開發相應的練習供學生使用，讓初中數學三角函數煥發生機。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張景中.重建三角，全局皆活——初中數學課程結構性改革的一個建議[J].數學教學，2006（10）.

[3]張景中.一線串通的初等數學[M].北京：科學出版社，2009.

作者簡介：沈健（1995—），男，江蘇蘇州人，碩士在讀，研究方向：數學教學。