基于現場可編程邏輯門陣列的磁控憶阻電路對稱動力學行為分析*

呂晏旻 閔富紅

(南京師范大學電氣與自動化工程學院，南京 210023)

1 引 言

憶阻器是一種具有記憶功能的非線性元件,它的提出彌補了磁通與電荷間關系的缺失[1],其作為一種非線性二端口元件,適用于構建混沌振蕩電路并產生復雜的非線性現象.但是,從1971年蔡少棠教授提出憶阻這一概念以來,憶阻器就因其物理工藝難度大、制造成本高等缺點,不適用于作為實用電路中的分立元件[2].因此,關于建立各類憶阻器等效電路或替代模型,構建憶阻混沌電路的研究相繼廣泛開展[3?7].憶阻模型的建立主要有兩種思路,其一是基于惠普實驗室的一類憶阻模型,研究最為廣泛的是HP TiO2線性參雜漂移模型[3]和HP TiO2非線性窗函數憶阻模型[4]; 其二是根據憶阻原始定義構建的二次非線性模型[5]、分段線性模型[6]、三次非線性模型[7]等.而將第二類憶阻器引入各類經典混沌系統,如蔡氏電路[8]、Loren系統[9]、Jerk電路[10]和文氏橋振蕩器[11]等,是構建憶阻混沌系統最常見的方法之一.

較常規混沌系統而言,憶阻混沌系統會產生特殊且豐富的非線性動力學行為,因此有關憶阻系統的非線性動力學研究也已廣泛開展[12?17].近年來,隨著研究的深入,學者們也提出并定義了一些憶阻電路所特有的新的非線性現象,如隱藏吸引子[12]、自激吸引子[13]及反單調特性[14]等.其中,文獻[12]構造了一個新型超混沌四維憶阻電路,針對該電路中存在的無限隱藏多吸引子共存現象進行分析.為了區別于隱藏吸引子的概念,文獻[13]將傳統連續混沌系統中由不穩定鞍焦點產生的吸引子定義為自激吸引子.文獻[14]基于憶阻自激振蕩的jerk電路,觀察到一些新的特殊非線性現象,即反單調特性、周期窗與混沌危機.當然,多穩態是許多非線性系統中的典型現象[18?21],也是近年來研究的熱點之一.它解釋了系統中多吸引子的共存現象,表現為在相同系統參數下改變不同的初值,系統擁有多個不同拓撲結構吸引子,如左右混沌/超混沌、極限環或小周期等共存現象[18].當這種共存吸引子的數量趨于無窮時便被認為是無窮多吸引子的共存,研究者們將這種現象稱之為超級多穩態[19].同時,憶阻系統中的多穩定性可被作為信息應用工程的外加信號源[22],或用于圖像加密處理[23],因此研究此類憶阻混沌系統的實現方法和多穩態現象具有理論意義與工程價值.

以上所述,均為目前報道過的憶阻系統中豐富且復雜的動力學行為.本文將二次非線性磁控憶阻模型引入改進型蔡氏電路[24],構建新型四維憶阻系統,觀察到憶阻電路中的對稱動力學行為,這一行為在之前極少被報道.文獻[25,26]根據憶阻系統對稱性出現時的極性平衡需求,提出極性調整與偏置控制的方法來構建更為多樣的對稱憶阻系統及繁殖吸引子.因此,對系統自身存在的對稱行為進行分析是具有物理意義的,也可為后續控制與應用打下基礎.本文提出的憶阻電路模型簡單且規整,通過分岔圖與Lyapunov指數譜等非線性分析手段,觀察到特定系統參數下特殊的對稱分岔行為.隨后,通過雙參數映射圖進一步探討這種特殊對稱行為的存在性.對稱域內多吸引子共存的多穩態現象則通過對應參數-初值平面內的運動狀態分布圖展現,并使用混沌與周期的相軌跡圖驗證.最后,利用現場可編程邏輯門陣列(field programmable gate array,FPGA)實現所構四維憶阻系統.結合“Modelsim”與“ISE Design Suite”軟件,完成數字電路實驗,其結果也驗證數值仿真的正確性.

2 電路模型

以改進型蔡氏系統[24]為基礎,構建一個基于絕對值憶阻模型的新型磁控憶阻混沌電路,整體電路方案如圖1(a)所示.圖1(b)是磁控憶阻模型的等效電路原理圖[27],其端口的對外特性與二次非線性的有源磁控憶阻器等效.

圖1 電路模型(a)磁控憶阻電路;(b)磁控憶阻等效電路Fig.1.Circuit schematic:(a)Flux-controlled memristor circuit;(b)equivalent Circuit of flux-controlled memristor.

表1 系統參數Table 1.The valueof system parameters.

在圖1(a)中,改進型磁控憶阻電路由四個一階非線性微分方程表示,其對應的四個狀態變量分別為電壓v1、電壓v2、電流i和磁通φ,這四個變量代表四個電路元件C1,C2,L和憶阻器W(φ)的電壓-電流或磁通-電荷關系.根據基爾霍夫定律,圖1(a)所對應的狀態方程如下

(1)式中磁控憶阻器的憶導方程如(2)式,其中α和β為兩個正憶阻參數值.

在無量綱化過程中,新的狀態變量與系統參數在(3)式中給出:

根據(1)式對應的電路狀態方程,可得到(4)式描述的數學模型,其中W(w)=?α+β|w| 是憶阻器的歸一化模型.

后續分析將以(4)式所描述的數學模型為基礎,系統參數設置如表1.初值設置為(10–9,0,0,0),圖2(a)為y-z平面上雙渦卷混沌吸引子相圖.圖2(b)展現y-z平面上對應的Poincaré截面圖,呈現的曲線是連續的,證明該系統是混沌的.

圖2 y?z 平面上典型混沌吸引子的相圖與Poincaré截面圖(a)相圖;(b)Poincaré截面圖Fig.2.Phase portrait and Poincaré map of typical chaotic attractor in y?z plane:(a)Phase portrait;(b)Poincaré map.

3 動力學行為分析

3.1 對稱共存分岔

為了討論不同參數下系統(4)的動力學機理,隨參數γ,c變化的分岔圖與Lyapunov指數譜分別在圖3和圖4中給出,其他系統參數的選擇如表1所示.將仿真初值設置為接近于原點的(±10?9,0,0,0),可最大程度地降低初值對系統動力學行為的影響.圖3(a)與圖4(a)中兩重疊的分岔軌跡展現的是狀態變量xmax隨參數γ,c的變化趨勢,其中藍紅兩色點分別對應初值(10?9,0,0,0)及(?10?9,0,0,0).其次,由于取相反初值時Lyapunov指數譜是大致相同的,因此圖3(b)和圖4(b)僅給出正初值(10?9,0,0,0)對應的Lyapunov指數譜.

觀察圖3(a)可知,參數γ在(0.704,0.808)范圍內變化時,系統(4)處在周期態.當參數γ∈(0.808,0.829)∪(0.845,0.9),四階憶阻系統(4)產生混沌吸引子,而且圖3(b)中對應的最大Lyapunov指數大于零.隨后,觀察圖4(b)的Lyapunov指數譜發現 0.9≦c≦1.13 時大部分最大Lyapunov指數均大于0,即系統處在混沌態,同時運動過程中有多個周期窗出現.參數c在(1.13,1.41)或(1.41,1.5)區間內增加時,系統分別產生周期軌跡與穩定不動點,兩區間內相應的Lyapunov指數如圖4(b)所示,分別為零值與小于零的值.系統動力學狀態與具體區間分布如表2所列.總體而言,隨參數γ在0.66到0.9內增加,新型憶阻系統從穩定不動點過渡到周期態,后又通過多個倍周期分岔進入混沌態.值得注意的是,在參數c的變化范圍內,系統所呈現的動力學行為與參數γ變化時大致相反.換言之,隨這兩種不同參數變化時,系統分岔行為呈現對稱性.當參數c從0.9開始增加時,系統最先處在混沌狀態,隨后經過反向倍周期分岔進入周期,最后系統運動變為穩定不動點.

3.2 雙參數平面的運動分布

通過雙參數吸引盆討論系統參數對(運動狀態分)布對稱性的影響.系統(4)初值固定在 10?9,0,0,0 ,相關系統參數取值依據表1,可得到圖5的雙參數吸引盆.參數組合γ?b,c?b,γ?ξ與c?ξ所對應的運動狀態分布分別在圖5(a)—(d)中展現,各種系統動力學行為用不同顏色標注,紫色為穩定不動點,藍色為周期1,綠色描述周期2,黃色代表周期3,紅色為復雜運動,具體內容見表3.值得指出的是,被命名為“復雜運動”的紅色區域,包含大于周期3的多周期與混沌運動.

觀察圖5可知,系統(4)擁有豐富的動力學行為和典型的非線性電路運動特征,即穩定不動點、周期態與混沌態.為了方便分析與討論,將圖5(a)、圖5(b)與圖5(c)、圖5(d)分為兩組,分別命名為組Ⅰ和組Ⅱ,發現同組中的吸引盆是對稱的.當參數γ∈(0.66,0.86),不論另一變化參數取值如何,系統總是依次歷經不動點、周期與混沌三種運動.而參數c從1.0增加到1.5的過程中,吸引域分布從混沌到周期,再過渡到穩定不動點.這意味著雙參數平面內運動分布的對稱性依然是由于參數γ,c下系統演變趨勢的相反性,同時其他系統參數的取值對這種對稱性影響甚微.若將兩組吸引盆進行組間比較會發現,組Ⅱ的系統運動分布呈現類帶狀,而組Ⅰ的吸引域分布是不規則的,這種不規則態在混沌與周期交疊區域更為明顯.結合圖1(a)所示電路模型可知,組Ⅰ內的另一變化參數b代表電路中電容C2,組Ⅱ參數ξ則表示電阻R的值.這表明,當選擇不同參數變量時,系統的運動狀態分布會呈現出明顯的差異性.另外,組Ⅱ穩定不動點的區域更多,占到總體的2/3左右,但組Ⅰ中的不動點區域僅占總體的1/4.組Ⅰ內更大的綠色及黃色范圍也說明,系統在參數γ?b或c?b組合下,出現以周期2,3為代表的小周期運動的可能性更高.綜上,系統運動的對稱性不會被其他參數變化破壞,但是吸引域的分布特性會受另一參數變量選擇的影響.

圖3 隨參數 γ 變化的分岔圖與Lyapunov指數譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數譜Fig.3.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter γ :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

圖4 隨參數c變化的分岔圖與Lyapunov指數譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數譜Fig.4.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter c :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

表2 參數 γ ,c變化時系統運動狀態與對應的Lyapunov指數Table 2.The dynamic behavior and Lyapunov exponent with parameter γ and c.

表3 不同顏色所對應的系統運動狀態Table 3.Colors and the corresponding system states.

當然,圖5所呈現的雙參數吸引盆在紅黃兩色區域中的重疊散點也是值得注意的.由于分布對稱性的存在,參數γ∈(0.81,0.86)且b∈(6,9)或參數c∈(1,1.1)且b∈(6,9)時,散點尤為明顯.這表明這兩塊區域內,該憶阻系統的運動切換更為頻繁,且吸引子結構穩定性差.然而,圖5(c)和圖5(d)內的散點較少,系統會出現完整且穩定的紅色區塊.這意味著參數γ?ξ及c?ξ組合下,該憶阻系統具有更好的混沌特性及魯棒性,并且混沌吸引子結構更為穩定.如果選擇所提出的系統(4)作為隨機信號發生器或用來產生信息加密的密鑰,在參數范圍γ∈(0.81,0.86)∪ξ∈(?0.1,0.13)或c∈(1,1.1)∪ξ∈(?0.1,0.13)內選擇參數值可得到更好的應用效果.

3.3 對稱域內的多穩態特性

這里主要討論特定參數下對稱多穩態現象的存在性,以及依賴于初值的多吸引子共存現象.隨γ?x(0)與c?x(0)變化的吸引子分布分別在圖6(a)和圖6(b)中給出,初始條件設置為(x(0),0,0,0),其中x(0)為非憶阻初值.當然,憶阻系統(4)對于憶阻初值的變化十分敏感,因此在圖7中給出γ?w(0)及c?w(0)平面上的吸引盆，w(0)為憶阻初值,其中圖7(a)和圖7(b)初值為(?10?9,0,0,w(0)).之后,為了(分析的完整性),圖7(c)和圖7(d)選擇相反初值 10?9,0,0,w(0).不同顏色區域描述多種形態的共存吸引子,包括紫色描述的點吸引子、淺藍與深藍標注的左右共存周期1、綠色與青色表示的左右周期2、黃色與草綠描述的左右共存周期3及紅橙兩色標注的左右共存復雜運動,具體內容如表4.需要指出的是,圖中僅有9種顏色,即9種狀態被區分.事實上,在不同初始條件下,系統中存在多種不同拓撲結構的吸引子,這意味著該憶阻系統中存在多穩態或極端多穩態現象.

圖6 不同變量組合下的共存吸引盆(a)γ?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0)Fig.6.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0).

圖7 不同變量組合下系統狀態分布圖(a)γ?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0))Fig.7.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0)).

表4 運動狀態與色標的對應表Table 4.Different colors and the corresponding dynamical state.

觀察圖6和圖7所展示的吸引盆,發現兩種類型的對稱特性.其一,系統運動分布關于相反初值存在對稱性.其二,在參數γ,c的相應變化范圍內,系統共存吸引子的分布域也是大致對稱的.圖6(a),圖7(a)和圖7(c)所展現的均是隨參數γ變化的多吸引子共存現象,系統總體運動呈現周期到混沌的趨勢.由于特殊參數下的對稱性,系統隨參數c的運動行為與參數γ變化時相反,如圖6(b),圖7(b)和圖7(d)所示,這與圖3、圖4中單參數變化情況一致.當 0.708≦γ≦0.82 時,可以找到九種不同結構的共存吸引子.同樣地,在 1.048≦c≦1.37 范圍內,系統也出現9種吸引子共存現象.通過共存相圖進一步驗證這種多穩態現象的存在性,按照上述吸引盆所呈現的運動狀態分布,選擇特殊參數下的不同初值繪制出具有多種拓撲結構的共存吸引子.圖8和圖9展示的相軌跡圖分別與吸引盆圖6(a)、圖7(a)和圖7(c)對應,圖10、圖11則對應吸引盆圖6(b)、圖7(b)及圖7(d),相應的初值設置見表5.其中,圖8與圖10固定參數γ=0.74 ,其他參數按表1設置,得到不同結構的吸引子類型.特殊的是,圖10完整展現吸引盆所區分的9種共存吸引子類型,包括穩定不動點及左右共存(周期1、周期2、周)(期3和混沌,其)對應(的初值分別為 ±1)0?9,0,0,?0.45 ,±10?9,0,0,0,±10?9,)0,0±0.45 ,(±10?9,0,0±0.5)及 ±10?9,0,0,±0.9.此外,取參數c=1.274 ,選取初值(±0.45,0,0,0),(±0.8,0,0,0)及(±0.1,0,0,0)可得到圖9所呈現的周期3,混沌與周期1吸引子相圖; 相圖11所展示的左右點吸引子,左右周期1,與左(右混沌對應)的初值分別為(±10?9,0,0,?0.45),±10?9,0,0,0 及(±10?9,0,0,±0.9).由于該憶阻系統吸引域分布對稱性的存在,圖9及圖11兩張圖所展現的吸引子運動相軌跡與圖8、圖10相一致,但其呈現形態又因初值的微小差別而不同.需要指出的是,從吸引盆的分布情況看出,選擇的兩種固定參數下周期2的狀態較少,因此僅在圖10(b)中展現,表明在憶阻系統(4)中此狀態確實存在.

表5 不同初值對應的共存多吸引子類型Table 5.Coexisting multiple attractor with different initial condition.

圖8 參數 γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.8.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖9 參數 c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.9.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖10 參數 γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3、左右共存周期1與穩定不動點;(b)左右共存混沌與左右共存周期2Fig.10.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3,period-1 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-2.

圖11 參數 c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3與穩定不動點;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.11.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

綜上,通過相軌圖與吸引盆相互驗證,可證明多穩態現象的存在性.當然,由于該系統依賴于初值的極端敏感,不同參數取值下,系統(4)會出現更多乃至無窮多具有不同拓撲結構的吸引子,且這些吸引子具有多種統計特性,即多樣的動力學特征.這也意味著,所構憶阻系統中存在多穩態甚至超級多穩態現象.

4 基于FPGA的憶阻數字電路實現

為了拓展此類記憶元件的應用,將系統(4)進行離散化并用FPGA數字平臺進行實現.FPGA是可重復編寫的硅芯片,與定制電路最大的不同就是其內部有事先建立的邏輯塊及可被重新編寫的布線資源,其功能的實現依賴于用戶的編程.因此,這樣的數字電路實現平臺在更改系統參數或初值等設置上更為方便精準,適用于實現憶阻混沌電路.本次使用四階龍格-庫塔法離散憶阻系統(4),該算法與其他常用離散化算法,如Euler法或二階龍格-庫塔法相比較,擁有穩定性高、精度好等一系列優點.之后,得到離散化方程(5),其中i=1,2,3,4,分別對應方程(4)中x,y,z,w四項,相應的參數取值如表1所示.同時,考慮到DA轉換的±5V范圍,需要添加一個縮放系數E,結合相圖中各項范圍,給定E為0.5,迭代步長h設置為0.0001.

各遞歸參數表示為如下形式:

整體設計編寫四個模塊,即module_Mem,module_K4,module_XB和module_DA數字化實現該憶阻系統.其中,module_Mem模塊為頂層模塊,其余三個模塊為底層模塊,頂層模塊是整體設計的核心,控制并調用各底層模塊,控制流程如圖12.從圖12看出,按順序調用module_K4與module_XB兩模塊便可實現四階龍格-庫塔算法.此外,另一底層模塊module_DA服務于高速DA轉換器,此次采用的數模轉換芯片為AD9767,其功能是將浮點數轉換為定點數,并賦值給輸出通道,最終在示波器上捕捉到相應時序圖與相圖.

接著,完成FPGA數字實現,實物連接圖與系統混沌態實現結果如圖13所示,其中圖13(b)為y?z平面上的雙渦卷混沌吸引子相圖,該混沌相圖與數值仿真所展示的圖2(a)相對應.圖13(c)分別展示y,z兩項時序圖,并用藍色與黃色線條表示.此外,為了證實所構憶阻系統存在對稱共存的多穩態現象,在圖14中展現固定參數a=1,b=3.5,c=1.274,γ=0.86ξ=0.12,選取不同初值時y-z平面上的共存吸引子.這組共存吸引子與圖11所示的數值仿真結果對應,圖14(a)和圖14(d)為左右共存的周期1吸引子,此時初值設定為(±10?9,0,0,0); 圖14(b)和圖14(e)呈現初值為(±10?9,0,0,±0.45)時的共存周期3吸引子,與圖11(a)一致.共存單渦卷混沌吸引子由圖14(c)和圖14(f)給出,初值選擇為(10?9,0,0,0.9)和(?10?9,0,0,?0.9).通過FPGA數字電路實驗,證實所構憶阻系統(4)的物理可實現性.數值仿真結果與電路實驗結果的一致性,也證明該系統確實存在多吸引子共存的多穩態現象.

圖12 頂層模塊控制流程圖Fig.12.The flow chart of calling order.

圖13 FPGA實物連接圖與實現結果(a)實物連接圖;(b)y-z平面相圖;(c)y,z兩項時序圖Fig.13.The hardware connection diagram and the result of implementation:(a)The hardware connection diagram;(b)phase diagram in y-z plane;(c)timing diagram of the term y and z.

5 結 論

本文基于新型四維磁控憶阻電路,觀察特定系統參數的分岔圖與Lyapunov指數譜,發現該憶阻電路中對稱分岔行為的存在性.通過雙參數吸引盆再次驗證系統運動狀態的對稱性是真實存在的,分析該憶阻系統在對稱吸引域內的多穩態特性.同時,基于FPGA技術的電路實驗平臺,完成該憶阻系統的數字電路實現,在示波器上捕捉到雙渦卷混沌吸引子與多種狀態的共存.實驗結果表明數值仿真的有效性,以及新型四維磁控憶阻電路的物理可實現性.當然,目前所構憶阻電路中的對稱動力學行為還無法從理論角度來解釋.系統的動力學行為會受到平衡點位置的影響,考慮到無法準確定位該憶阻系統的平衡點,之后會進行更多的工作并探索新的方法來解決這一問題,從理論出發更易找出這種特殊對稱行為存在原因與規律.