多源時變激勵下兩級直齒輪傳動系統有限元建模方法研究

喬自珍， 周建星,2， 章翔峰

(1. 新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊 830047； 2． 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

齒輪傳動系統具有效率高、結構緊湊、傳動比穩定等特點，成為機械傳動中最重要的形式之一。齒輪傳動系統正朝著高速、重載、輕型的方向發展，在實際工作中系統受到內外激勵的作用，不可避免的會產生振動與噪聲[1]。齒輪系統結構的復雜性，以及各種非線性因素的存在，都給齒輪系統的動力學建模帶來困難。

在模型建立方面，齒輪系統動力學模型最初僅有一對簡單齒輪副組成，后來逐漸包含齒輪、軸承、傳動軸和箱體等[2]。Neriya等[3]較早地將有限單元法引入齒輪轉子系統動力學的研究中，建立了包含定值嚙合剛度的線性模型；Lee等[4]應用廣義有限元建模方法對由電磁振動器施加的一系列半正弦沖擊波的轉子-軸承系統模型進行實驗，研究了轉子系統的瞬態響應問題。隨著研究的深入，國內外學者考慮傳動系統和結構系統的相互作用，建立齒輪系統耦合模型。?zgüven等[5]建立了軸-齒輪-軸承系統的動力學模型來研究齒輪和軸承位置處的響應；Kubur等[6]建立具有N根軸N-1個嚙合副的齒輪系統動力學模型，研究了軸承動載荷和軸段長度之間的關系；錢露露等[7]采用有限元建模方法，建立考慮軸、齒輪、轉子陀螺效應的單級齒輪傳動系統動力學模型，計算得到系統固有特性；常樂浩等[8]借鑒有限單元法，考慮嚙合剛度、齒輪誤差和箱體柔性等因素的影響，提出了一種適用于齒輪-軸-軸承-箱體系統的耦合動力學建模方法。上述建模方法在一定程度上建立了齒輪-轉子系統的耦合動力學模型，研究了其動態特性，但對于多源時變激勵下齒輪傳動系統的全柔性動力學建模方法研究較少。

本文考慮齒輪、軸承的時變剛度激勵以及誤差激勵，同時計入傳動軸的柔性，把軸-軸承-齒輪進行單元劃分，將系統等效為離散單元，建立了系統動力學方程， 分析系統的動力學特性，通過實驗驗證了該建模方法的有效性。

1 模型構建

1.1 傳動系統模型構建

一般的齒輪系統包括輸入輸出系統，齒輪軸系組成的傳動系統，軸承底座組成的結構系統。本文以二級定軸直齒輪傳動系統為研究對象，來闡述傳動系統有限元建模方法。如圖1所示，系統中含有第一級主動輪、從動輪，第二級主動輪、從動輪，輸入軸、中間軸、輸出軸以及軸上起支撐作用的六個深溝球軸承。

圖1 二級齒輪傳動系統結構模型

系統的詳細幾何參數，表1、2所示。

表1 二級齒輪傳動系統軸參數

1.2 有限元模型構建

齒輪傳動系統是一個具有無窮多個自由度的連續彈性體，采用有限單元法將系統簡化為離散單元，把非線性問題轉化為線性方程組問題。

采用有限元法對二級齒輪傳動系統中的軸、軸承、齒輪，分別進行單獨建模，如圖2所示。其中第一根軸劃分成12個單元、第二根軸劃分成8個單元、第三根軸劃分成9個單元，分別對每個單元節點進行編號形成有限個軸段單元。每根軸上含有兩個滾動球軸承，形成軸-軸承耦合單元；第一根軸第7節點和第二根軸第16節點上分別含有第一級主動輪和從動輪，相互嚙合形成第一級齒輪嚙合單元；第二根軸第20單元和第三根軸第29單元分別含有第二級主動輪和從動輪，相互嚙合形成第二級齒輪嚙合單元。節點通過耦合作用實現了軸-軸承、軸-齒輪、齒輪-齒輪的物理連接和受力耦合。

表2 二級齒輪傳動系統齒輪參數

實際處理時可根據軸的裝配要求、幾何形狀以及實際精度需求，適當增加軸段節點數目，劃分更為詳細的軸段單元。

圖2 二級齒輪傳動系統的有限元模型

2 各單元動力學模型

2.1 軸段單元

軸主要起到支撐回轉零件及傳遞動力的作用，是齒輪傳動系統中重要的零件之一。為有效的考慮軸的柔性，建立彈性軸單元模型，如圖3所示，可利用空間梁單元理論進行其受力分析。根據表1可知，該齒輪系統模型的軸段寬徑比較小，需要考慮剪切變形，因此分析軸段單元采用Timoshenko(鐵木辛柯)梁理論。

圖3 軸段單元坐標系定義

分析一個梁結構中取出的典型梁單元e，其中梁單元長度為l，彈性模量為E，截面慣性矩為J。單元有2個節點，節點局部編號為i，j。每個節點有2個橫向移動自由度和1個扭轉自由度，建立如圖3所示的軸段單元坐標系，則單元節點位移分量為

(1)

求得軸單元6×6的剛度矩陣和質量矩陣，由于文章篇幅限制各矩陣的具體形式可參考文獻[8]。

結構阻尼在工程中常采用Raleigh(瑞利)阻尼，因此軸單元阻尼為

CS=αMS+βKs

(2)

式中：MS、Ks為軸單元質量矩陣、剛度矩陣。α、β為Raleigh阻尼比例系數，由于傳動軸是選用結構鋼材料，取α=3，β=0.000 000 8，具體的計算方法可以參考文獻[9]。

2.2 嚙合單元

建立齒輪系統的動力學模型時，如需考慮齒輪副支撐彈簧的影響，則分析中除了考慮扭轉振動外，還必須考慮其他的振動形式。對二級齒輪傳動系統進行建模時，首先進行如下假設：考慮齒輪輪齒的彈性和粘性。將其視為黏彈性體，存在扭轉振動和垂直軸線方向的平移振動，不存在軸向振動。如圖4所示，建立齒輪嚙合單元動力學模型。圖中p，g分別表示主動輪、從動輪，km(t)表示時變剛度，νp,ωp,θp,νg,ωg,θg分別表示主動輪和從動輪的平移振動位移8及扭轉角度，α表示壓力角。

圖4 齒輪嚙合單元動力學模型及時變剛度曲線

各齒輪的廣義位移向量可表示為：

{X}={νp,ωp,θp,νg,ωg,θg}T

(3)

齒輪嚙合剛度會隨著嚙合位置的變化而改變，利用有限單元法依次計算出一個嚙合周期內若干個嚙合位置的嚙合剛度，詳細計算過程見參考文獻[10]。通過線性插值得到其他位置的嚙合剛度值，圖4為兩個嚙合周期內齒輪嚙合剛度變化曲線。各齒輪沿扭轉自由度與平移自由度的振動均會使齒輪副嚙合狀態發生改變，故齒輪各自由度位移在嚙合線方向上的投影矢量為

(4)

式中：rp，rg分別為主、從動齒輪的基圓半徑。

則齒輪副的彈性嚙合力可表示為

Fk=km(t)(υpsinα+ωpcosα-rpθp-

υgsinα-ωpcosα-rgθg+e(t))

(5)

式中：e(t)表示綜合誤差，其中，e(t)=e1sin(2πfm1t)，e1為誤差幅值，fm1為第一級嚙合頻率。

2.3 軸承單元

軸承主要承擔對軸系的支撐作用，連接軸系與箱體組成減速器結構系統。如圖5所示：深溝球軸承模型及兩種承載形式。

(a) 深溝球軸承動力學模型(b) 奇壓(c) 偶壓

圖5 深溝球軸承動力學模型及兩種承載形式

Fig.5 Dynamic model of deep groove ball bearing and two bearing forms

通常，軸承的運動形態分為兩種情況：一種是徑向載荷落在最下方滾子上(奇壓)圖中(b)所示；另一種是徑向載荷落在最下方兩個滾子中間(偶壓)圖中(c)所示。由文獻[11]查閱得到深溝球軸承的基本參數，求出軸承的曲率和與曲率差，表3為軸承基本參數以及計算數值。

軸承的徑向位移：

(6)

式中：Qmax為最大法向載荷，D為軸承滾道直徑，α為深溝球軸承接觸角。

表3 軸承基本參數

奇壓時軸承剛度為：

(7)

式中：Fr表示軸承所受徑向載荷。

偶壓情況下，徑向載荷的正下方沒有滾子承受載荷，以滾子方位角ψ=±22.5°時的載荷作為滾動體所承受的最大載荷，求出偶壓時軸承剛度為kbe。

計算得到，偶壓剛度：kbe=8.95×108N/m；

奇壓剛度：kb=8.21×108N/m。

則時變剛度：

kb(t)=kbs+kasin (2πfbt+βb)

(8)

式中：kbs為軸承靜態剛度，ka為時變剛度波動幅值、fb為軸承通過頻率，βb為軸承初始相位角，其中，kbs=(kb0+kbe)/2。

3 系統整體動力學模型分析

3.1 兩級相位關系

為建立二級齒輪副模型，確立兩級相位關系。首先建立如圖7所示的坐標系，假設：vp1所在方向為第一級傳動系統主動輪和從動輪的理論中心線方向，ωP1所在方向垂直于兩齒輪中心線。

首先做出以下假設：二級定軸齒輪傳動系統中，三根軸為空間平行軸系，兩對嚙合齒輪副始終繞自身軸線扭轉振動和在垂直與軸線的平面內平移振動，沿軸線方向不存在振動。如圖6所示vp1，ωP1，θp1，vg1，ωg1，θg1為第一級主動輪和從動輪的平移振動位移和扭轉角度，vp2，ωP2，θp2，vg2，ωg2，θg2為第二級主動輪和從動輪的平移振動位移和扭轉角度。

根據建立的坐標系，齒輪壓力角為α，二級齒輪傳動系統中三根軸的軸間夾角為β，根據幾何關系可知，第二級齒輪嚙合線的方向與vp1所在方向的夾角為

α2=β-(π/2-α)

(9)

故在第二級齒輪傳動系統中，齒輪各自由度位移在嚙合線方向上投影的矢量為

(10)

所以齒輪副的彈性嚙合力為

Fk=km(t)·(υp2sinα2+ωp2cosα2-rp2θp2-

υgsinα2-ωpcosα2-rg2θg2+e2(t))

(11)

式中：rp，rg2分別表示第二級傳動系統中主動輪和從動輪的基圓半徑，km2(t)表示第二級齒輪副時變嚙合剛度，e2(t)表示綜合誤差，其中，e2(t)=e2sin(2πfm2t)，e2為誤差幅值，fm2為第二級嚙合頻率。

圖6 二級齒輪傳動系統兩級相位關系

3.2 單元組裝

對全部單元完成分析后，進行單元組裝。把各單元的剛度陣，質量陣，載荷向量等物理量，按照有限元的方法進行組裝；即按各單元節點編號的順序，將每個單元剛度矩陣送入總剛度矩陣[K]中對應的行列位置，含有同一編號的不同耦合單元對應該節點的剛度矩陣子塊要互相疊加，以建立節點外載荷與位移之間的關系。系統整體自由度的廣義位移向量{x}={x1x,x1y,x1θ,x2x,x2y,x2θ,…,xnx,xny,xnθ}，(其中n表示節點數目，n=1，2,…,95)。對于含有三根軸，六個軸承，兩對嚙合齒輪副的二級齒輪傳動系統，考慮邊界條件(第一個節點和輸入端連接約束了扭轉自由度，最后一個節點和輸出端連接，承受負載扭矩)采用有限元法，將其劃分為29個單元，95個自由度。該二級齒輪傳動系統的整體剛度矩陣裝配示意圖，如圖7所示。系統整體的動力學方程可寫成：

[k(t)]{x(t)}={F(t)}

(12)

式中：{x(t)}表示節點位移向量；[m]、[c]、[k(t)]分別表示系統整體質量、Raleigh阻尼、剛度矩陣；{F(t)}表示系統所受外部激勵。

最后進行動力學計算，由于剛度陣[k(t)]、位移向量{x(t)}都是時間的周期函數，需要借助數值積分進行求解。由于Newmark積分法具備無條件穩定性，計算效率優越于傳統的數值方法，故本文在求解動力學模型時采用時域Newmark積分法。

圖7 整體系統剛度示意圖

4 仿真分析

4.1 傳動軸靜變形分析

齒輪傳動系統在承載作用下，各傳動軸均要承受齒輪圓周力和徑向力產生的彎矩和扭矩，因而不可避免的會產生各種變形。在不考慮軸單元所受慣性力和阻尼力的影響下，齒輪軸的受力情況可按靜力學問題進行分析。通過承載大小與傳動軸整體剛度矩陣定義軸變形量。設其變形量為[δS]則

(13)

式中：[ks]表示系統整體剛度矩陣，F表示軸所受載荷。

仿真計算負載扭矩為10 N·m、輸入轉速500 r/min時，齒輪軸的變形量，如圖8所示，(和實際結果相比，圖中放大了105倍)。軸上含有軸承支撐以及嚙合齒輪副，軸承起約束作用，齒輪副傳遞載荷。因此，第一根軸在齒輪耦合節點7位置(嚙合單元位置)承載最大，具有最大變形量為0.55 μm；第二級齒輪轉速小、受載大，因此相比第一級傳動軸，第二級傳動軸在齒輪耦合處具有更大的變形。第二根傳動軸在節點20位置具有最大變形量為1.98 μm；第三根傳動軸在節點29位置具有最大變形量為1.70 μm。

圖8 軸變形前后示意圖

4.2 固有特性分析

當系統外部激勵 {F(t)}=0 時，由式(12)可得自由振動方程為

(14)

在模態分析中，阻尼對齒輪系統固有頻率和振型的影響不大，故忽略阻尼的作用。

則無阻尼情況下，系統的振動方程為

(15)

將系統固有特性轉化為求解系統特征值問題,即

(16)

(17)

將計算得到的嚙合剛度均值輸入兩級定軸直齒輪系統動力學模型中，求解得到考慮柔性軸情況下系統的固有頻率和振型，系統共計95階固有頻率，前10階固有頻率，如表4所示。

表4 系統前10階固有頻率

本文將連續系統離散為軸-軸、軸-齒輪等基礎單元，考慮傳動軸幾何尺寸、柔性的影響，建立兩級齒輪傳動系統模型。仿真得到二級齒輪傳動系統的振動模式主要包括齒輪副的扭轉振動以及傳動軸的彎曲、偏擺振動，與文獻[2]齒輪系統的固有特性分析結論一致，低階典型的振動形式如圖9所示。第1階的主要振型是第一級齒輪副的扭轉振動，第一級主動輪和第二級從動輪沿順時針方向扭轉振動，第一級從動輪和第二級主動輪沿逆時針方向扭轉振動，如圖9(a)所示；第3階的主要振型是第二級齒輪副的扭轉振動，和第一階扭轉振動具有不同的振動方向，如圖9(c)所示；第6、9階的主要振型是二級平行傳動軸彎曲、偏擺振動，如圖9(b)、(d)所示，其中第6階振型中，軸一和軸三呈現下凹形振動模式，軸二呈現上凸形振動模式；第9階的三根軸都呈現上凸的振動模式。由于篇幅限制，本文只給出了低階典型的振動模式，該系統中還具有高階扭轉、彎曲、偏擺振動形式。

傳統的集中質量模型，將傳動軸簡化為扭轉變形和彎曲變形的彈性元件，在分析系統的振動形式時，只能分析齒輪副的扭轉振動及橫向振動，卻無法體現傳動軸復雜的模態變化。

(a) 第一階振型(b) 第六階振型(c) 第三階振型(d) 第九階振型

圖9 齒輪傳動系統振型圖

Fig.9 Model shape of gear transmission system

4.3 動態特性分析

利用Newmark時域積分方法求解模型，分別仿真得到剛性軸和柔性軸情況下第一級齒輪動態嚙合力，如圖10所示。

(a) 剛性軸情況下第一級齒輪傳動系統載動荷時域歷程

(b) 剛性軸情況下第一級齒輪傳動系統動載荷頻譜圖

(c) 柔性軸情況下第一級齒輪傳動系統載動荷時域歷程

(d) 柔性軸情況下第一級齒輪傳動系統動載荷頻譜圖

對比時域歷程可以看出，當考慮軸的柔性時，最大動載荷減小，兩級齒輪動載荷拍振現象明顯減弱，振動信號更加平穩[12]。從頻譜分析中可以得到，當把傳動軸假設為剛體進行分析時，產生第一階固有頻率(fn1)成分、第一級嚙合頻率(fm1)及第一級嚙合頻率的二至四倍頻成分、第二級嚙合頻率(fm2)的二倍頻、四倍頻、五倍頻、七倍頻成分，其中第一級嚙合頻率位置振動幅值最大；當考慮軸的柔性時，動載荷幅值減小，振動響應頻率成分減少，這是由于軸的柔性起到隔振作用，減弱了齒輪系統振動的傳遞。

5 實驗驗證

本實驗采用的是由SQI公司生產的齒輪傳動系統試驗臺，分析齒輪箱傳動系統的動力學特性，采集軸承端蓋位置徑向加速度的時域信號，如圖11(a)所示，其中二級齒輪傳動系統與所建模型參數一致。通過將加速度傳感器608A11在箱體處進行布點，測點位置如圖11(b)所示，使用采集卡DT9837將測得的振動信號進行導出分析。

(a) 傳動試驗臺(b) 測點位置

圖11 齒輪傳動實驗臺

Fig.11 Transmission test bench

在輸入轉速960 r/min，負載扭矩10 N·m，采樣頻率10 kHz的工況下進行實驗操作，采集軸承端蓋位置徑向加速度的時域信號。計算時取若干連續周期，以消除瞬態激勵的影響，進行傅里葉(FFT)轉換得到頻譜圖[13]，如圖12所示。

從圖中可以看出：振動響應中，主要的頻率成分為第一級齒輪副和第二級齒輪副的嚙合頻率(fm1、fm2)及其倍頻成分，低頻處存在軸承通過頻率(fb)成分。

仿真分析二級齒輪傳動系統時域信號和頻域信號。

如圖13所示，除在極少時刻存在少量的振動沖擊，振動響應信號相對平穩，節點位移加速度呈現周期性變化。振動響應中，主要頻率成分包括：由于模型中計入了軸承剛度的時變性，在低頻處產生了軸承通過頻率(fb)成分；第一級嚙合頻率(fm1)及第一級嚙合頻率的二至四倍頻，其中二倍頻(1 152 Hz)位置振動幅值較大，這是由于第一級嚙合頻率的二倍頻與系統第5階固有頻率基本一致，使系統振動能量增大；第二級嚙合頻率(fm2)及其倍頻位置也出現振動峰值，其中七倍嚙合頻率(1 299 Hz)與系統第6階固有頻率基本一致，故在此位置振動最為強烈，系統低階固有頻率如表4所示。第一級嚙合頻率及二倍頻附近，存在明顯的由軸承通過頻率及其倍頻所構成的邊頻調制成分，仿真與實驗結果基本一致。

(a) 加速度時域歷程

(b) 加速度頻譜圖

(a) 加速度時域歷程

(b) 加速度頻譜圖

實驗中fnb位置也出現振動峰值，如圖13所示，在仿真結果中卻沒有出現，這是由于仿真計算模型未有效計入實驗臺基礎的動態特性。在實驗中，齒輪系統是放置在基礎平臺上，通過錘擊實驗測試該基礎平臺的固有頻率即為fnb。

仿真計算與實驗測試加速度隨轉速的變化歷程對比，如圖14所示。從圖中可以看出，當轉速從500 r/min變化到3 000 r/min時，仿真計算的加速度隨轉速變化趨勢與實驗結果一致。兩條曲線均含A、B、二個峰值點，其中A點峰值對應轉速為1 700 r/min，傳動系統第一級2倍嚙合頻率與第3階固有頻率(1 055 Hz)較為接近，系統振動加劇；B點峰值對應轉速為2 200 r/min，第一級傳動系統的嚙合頻率及二倍頻與系統第6、8階固有頻率(1 230/2 875 Hz)相近，第二級傳動系統的三倍頻(1 270 Hz)與系統第6階固有頻率(1 230 Hz)基本一致，系統發生共振，加速度幅值急劇增加；通過共振區后，加速度隨轉速變化相對平穩，仿真計算的加速度值與實驗測試加速度值相差不大，兩條曲線基本吻合。

本模型中采用的是Raleigh(瑞利)阻尼，而當轉速不同時系統的振動形式是不一樣的，存在不同模態形式，為了克服這一影響，在后續研究中可采取模態阻尼；同時，空氣和潤滑油產生的耦合作用對系統加速度也會產生影響，造成仿真與實驗測試的誤差[14]。

圖14 不同轉速下的加速度仿真與實驗對比

6 結 論

本文采用有限元法建立了二級定軸齒輪傳動系統動力學模型，考慮軸的柔性，引入兩級齒輪相位關系分析了多源時變剛度下系統整體的動力學特性，得到如下結論：

(1)當考慮傳動軸的柔性時，動載荷幅值有所減小，振動響應頻率成分也隨之減少。

(2)有效計入傳動軸的柔性，以及軸承剛度與齒輪嚙合剛度的時變性，仿真與實驗測頻率成分分布基本一致。

(3)通過實驗測試與仿真計算的對比分析，驗證了有限元建立齒輪傳動模型的有效性。