對重積分計算的再理解與教學創新

劉春蘭

（朔州師范高等專科學校，山西朔州 036000）

1 二重積分計算概述

1.1 內涵

二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。二重積分的計算方式主要是在極坐標系和直角坐標系的作用下來將二重積分轉變為二次積分，進而利用兩次定積分計算出二重積分。二重積分的計算本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積。當被積函數小于零時，二重積分是柱體體積負值。

把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個變量當成常量如Y，然后只對一個變量積分，得到一個只含Y的被積函數，再對Y積分即可完成操作。

1.2 直角坐標系下的二重積分計算步驟

第一，畫圖。根據題目的解答要求來確定積分區域范圍內的各個邊界曲線，根據具體的題目要求來選定區域。第二，簡化計算。在簡化計算能操作的時候判斷出整個積分區的整體情況，經過細化分割之后思考積分是否是關于坐標軸、原點或y=x直線對稱、判斷被積函數整體，或者經加減運算拆項的部分是否具有相應變量的奇偶性，借助偶倍奇零與輪換對稱性化計算。第三，確定積分區域類型。根據積分區域圖形與被積函數特征，確定最終需要計算的積分區域的類型。第四，投影求型限。在具體計算操作的時候將積分區域投影到型變量對應的坐標軸上，確定型變量的范圍、常值區間。第五，畫線定余限。在型變量的取值范圍內，做平行于余變量對應的坐標軸，并且同向的有向直線穿過積分區域，入點為下限，出點為上限：上下限一般為型變量的函數或者直接為常值。第六，余變先積分，最后積型變。

1.3 極坐標系下的二重積分計算步驟

第一，直角坐標系下畫圖(畫確定積分區域的各邊界曲線，根據題意確定區域。第二，簡化計算。判斷積分區域整體，或者經過分割后的部分是否關于坐標軸、原點或y=x直線對稱、判斷被積函數整體，或者經加減運算拆項的部分是否具有相應變量的奇偶性，借助偶倍奇零與輪換對稱性化簡計算。第三，確定坐標系。根據被積函數特征確定坐標系。第四，轉換描述。借助直角坐標與極坐標的關系：x=ρcosθ，y=ρsinθ轉換被積函數表達式與積分區域邊界曲線描述形式用極坐標描述。第五，確定積分區域類型。根據積分區域圖形與被積函數特征，確定最終需要計算的積分區域的類型。第六，掃描求型限。對于簡單θ-型，用x正半軸逆時鐘掃描；對于簡單ρ-型，從ρ=0開始，以極點為圓心，半徑逐漸增大的同心圓掃描。第七，畫線定余限。在型變量的取值范圍內，做射線穿過積分區域，或以極點為圓心的圓逆時鐘穿過區域，入點為下限，出點為上限：上下限一般為型變量的函數或者直接為常值。第八，余變先積分，最后積型變。

2 三重積分

2.1 內涵

設三元函數f(x，y，z)在區域Ω上具有一階連續偏導數，將Ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為 r（i=1，2，...，n），體積記為 Δδi，||T||=max{ri}，在每個小區域內取點 f（ξi，ηi，ζi），作和式 Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(與Ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函數f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

2.2 直角坐標系下的三重積分計算步驟

將三重分的計算轉化為直角坐標系下的先二重積分后定積分的形式。直角坐標系下的截面法必須滿足以下兩個條件：被積函數 f（x,y,z）中至少缺兩個變量；用平行于所缺變量的平面去截被積區域Ω所得截面的面積易求出。

適用于被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法，直角坐標系下的三重積分計算方式包含以下兩種。第一種，先一后二法投影法。先一后二法投影法在操作時候需要計算豎直方向上的條積分，之后計算出底面積分。先一后二法投影法的區域條件是對積分區域的Ω無限制，函數條件是對f（x,y,z）無限制。第二，先二后一法。

在具體操作的時候先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。先二后一法的區域條件為積分區域Ω為平面或其他曲面所圍成，基本函數條件是f（x，y）僅為一個變量的函數。

2.3 柱面坐標系下的三重積分計算步驟

適用被積區域Ω的投影為圓時，依具體函數設定。柱面坐標系下的三重積分的區域條件為積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；函數條件：（x，y，z）為含有與之相關的項。柱面坐標系下的投影法是把直角坐標系下的投影法中的投影區域用極坐標形式表示，區域Ω的上-下底面函數通過變換轉化為關于ρ和θ的函數。

2.4 截面法下的三重積分計算步驟

截面法下的三重積分計算轉化為柱面坐標系下次序為ρ-θ-z的三次積分。柱面坐標系下的截面法是將直角坐標系下的切片法中的切片用極坐標表示出來，柱面坐標系下的截面法是將三重積分化為三次積分。

3 重積分的教學完善

3.1 深入研究重難點問題，幫助學生更好地掌握基礎知識

在教學的時候往往是將二重積分劃為兩次單積分進行計算，對于假設 f（x，y）≥0，D 可以表示為 ?1（x）≤y≤?2（x），a≤x≤b，其中函數 ?1（x）、?2（x）在區間[a，b]上呈現出連續的狀態，按照二重積分的幾何意義，的數值是以D為底的，以曲面z=f（x，y）為頂的曲定 柱體的體積，應用計算平行截面面積能夠得到立體體積的計算方式。在學習的時候學生網網對二次積分的積分上下限和被積函數怎樣限制經常會感到困惑，在解題的時候也容易出現錯誤。為此，在教學中教師可以做出如下的引導：（1）將重積分轉變為累次積分之后，上限不能夠比下限小，每個累計的積分上限要大于下限。（2）對于被積函數 f（x，y），教材上沒有予以過多的限制，僅僅是假定 f（x，y）≥0，學生在解答的時候會產生困惑。

3.2 重視一題多解，發散思維能力

在重積分教學的時候教師不僅要引導學生注重課本上的例題解答方式，而且還需要引導學生應用其他方式來解題。比如例2：計算二重積分其中 D 是 x=y2，和所圍成的區域（如圖一所示）。對于這個題目，學生的常規解答方式是將二重積分化為先對x后對y的二次積分，積分限雖然正確，但是原函數無法用初等函數來表示。在教師的啟發下學生開始嘗試應用不同的方式解答。在將二重積分化為先對x后對y的二次積分得到：考慮到在x固定的時候是關于y的奇函數，因而對稱區間的積分數值是0，=0，=0，由此計算得到=0.在解答題目的時候通過應用不同的處理方式能夠拓展學生的學習思路，培養學生發散思維。

3.3 歸納總結將所學知識系統化處理，培養學生綜合能力

在應用對稱性計算二重積分和三重積分的時候，課本上往往沒有進行歸納總結，使得學生在具體計算的時候時常出現錯誤。比RU例3：計算二重積分是矩形區域-2≤x≤2，-1≤y≤1，學生往往錯誤理解為D1是矩形區域上的0≤x≤2，0≤y≤1，具體如圖二所示。利用對稱性得到出現這樣的錯誤解題是學生沒有對二重積分應該在怎樣條件下利用對稱性沒有真正掌握。從實際操作情況來看，二重積分想要轉變為積分區域上的二重積分需要滿足以下幾個方面的條件：（1）積分區域D是關于橫縱軸的對稱。（2）被積函數分別是關于橫縱軸的函數。雖然D區域上橫縱軸是對稱的，但是被積函數關于橫縱軸都不是偶函數，因此得到：

圖2 D1矩形圖

在應用對稱性來計算定積分、二重積分和三重積分的時候需要注重考慮一元函數積分區間的對稱性問題，即積分區間具有對稱性的特點，被積函數也具備對稱性的特點。二重積分則是要求積分區域和被積函數都具備對稱性的關系。