警惕“范圍”陷阱

羅全明

(山東省臨沂第十八中學 276017)

例1 已知方程x2-2(m-1)x+3m2-11=0有兩個實根x1,x2，試求函數

警惕解題過程中忽略了m的取值范圍．而m的取值范圍應該由方程有兩個實根的條件來確定.

由Δ=[-2(m-1)]2-4(3m2-11)≥0，得-3≤m≤2．

所以當m=-2時，f(m)的最大值是34；

當m=2時，f(m)的最小值是2．

例2 已知3x2+2y2=9x，求u=x2+y2的最大值．

警惕條件最值中的條件有兩個基本功能：消元、定范圍．本題解題過程忽略了自變量x,y的相互制約關系，因而沒有給出變量x的范圍．

例3已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，求函數y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及最小值．

解由x∈[1,3]，得log3x∈[0,1]，所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x+3)2-3，所以當log3x=1時，y有最大值13；當log3x=0時，y有最小值6．

警惕解題過程中忽視了抽象函數y=[f(x)]2+f(x2)的定義域．

當log3x=0時，y有最小值6．

警惕雖然解題過程中考慮到了三角函數的有界性這一隱含范圍，但卻仍然忽視了-1≤sinx≤1對siny取值范圍的影響．

所以C=30°或C=150°．

警惕角C的范圍是否受已知條件的約束，未挖掘．條件中僅含有A、B，因此可判斷其中某一個角(例如B)的范圍，從而間接得到角C的范圍．

角C的值不唯一，因此判斷角C的范圍就成了解決本題的關鍵．

警惕解題過程中未考慮字母a的取值范圍應受題目隱含條件限制．

求函數的最值或值域問題時，我們不僅要考慮淺層次的隱含條件，更要挖掘深層次的隱含條件，使條件充分運用，方可跳出“范圍”陷阱，進而提高自己的思維水平．