辨析知道真偽 比較弄清本質

文貴雙

(甘肅天水市一中 741000)

數學問題中許多貌似相同但有本質區別的題目，若不仔細辨析，最容易混淆而錯解.因此，在高考復習中把這些問題放到一塊對比，加強對相關概念的理解，養成仔細閱讀題意，弄清題目本質的好習慣，是解決這類問題的有效的辦法.本文針對容易混淆幾對問題加以剖析比較，揭示問題的求解方法.

一、定義域與值域

例1(1)若函數y=lg(ax2+2x+a)的定義域為R,求實數a的范圍；

(2)若函數y=lg(ax2+2x+a)的值域為R，求實數a的范圍.

點評函數的值域是函數值的集合，由對應法則與定義域確定.對數型的復合函數值域是R時，真數要能取遍所有的正數.例如通過求y=lg(x2+1)，y=lg(x2-4)值域，理解此解法.

二、定義域與有意義

點評若函數f(x)在M上有意義，則M是函數f(x)定義域的子集.

三、主元與次元

例3(1)若函數f(x)=x2+ax+1，當x∈[0,2]時恒有f(x)>0成立，求實數a的取值范圍；

(2)若函數f(x)=x2+ax+1，當a∈[0,2]時恒有f(x)>0成立，求實數x的取值范圍.

解(1)由題意知，f(x)=x2+ax+1>0，對?x∈[0,2]恒成立，即[f(x)]min>0.

綜上a的取值范圍是(-2,+∞).

點評這兩道題都是二次函數問題，選擇恰當的變量為主元，從而使問題簡化.主元不同，函數的類型也不同.

四、有解與恒成立

例4(1)已知函數f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)已知函數f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a有解，求實數a的取值范圍.

點評“有解”是要求某范圍內存在x使得不等式成立即可.g(a)f(x)有解?g(a)>[f(x)]min.

五、相等關系中任意與存在

例5(1) 已知函數f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若對于任意的x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求實數a的取值范圍；

(2)已知函數f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求實數a的取值范圍.

(2)g(x)的值域是[1-3a2-2a,-2a],而f(x)的值域是[-4,-3].

由題意知，函數g(x)與f(x)的值域中至少有一個相同的值,當a≥1時，1-2a-3a2≤-4,故只需-4≤-2a，即a≤2，又a≥1，所以1≤a≤2，即a的取值范圍是[1,2].

點評?x1∈D1,?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)，設f(x)與g(x)的值域分別為A,B,則A?B.

這個結論如何理解？西游記中的孫悟空“任意”一個變化，二郎神都“存在”一個相克的變化，說明孫悟空的“本領”不高于二郎神的“本領”.以這個例子有助于我們理解此結論.

?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)，設f(x)與g(x)的值域分別為A,B,則A∩B≠?.

六、不等關系中任意與存在

例6(1) 已知函數f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若對于任意的x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)已知函數f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)“若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

點評涉及兩個變量的“任意”“存在”問題所涉的知識面廣，思辨性強，解題靈活，有利于考查邏輯思維能力.解決此類問題應當充分理解“任意”“存在”的深刻含義，轉化成函數最值間的關系來解決.相關結論為：

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]min>[g(x)]max；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]max>[g(x)]min；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]min>[g(x)]min；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]max>[g(x)]max.