三角函數中數與形手牽手

吳 娟

(江蘇省昆山中學 215300)

普通高中數學學科核心素養之一是直觀想象，直觀想象是指借助幾何直觀感知實物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.華羅庚先生曾指出“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”數形結合思想是高中數學重要的思想方法.本文主要就數形結合思想在三角函數學習中的應用與大家一起探討.

一、數形結合概念

1.數形結合思想

數學中，數與形是兩個最主要的研究對象.“數形結合”思想是把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系研究圖形的性質.它們在內容上相互聯系，方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉化.恩格斯是這樣定義數學的：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學.”這就意味著數形結合是數學的本質特征，宇宙間的萬事萬物是數與形和諧的統一，因此數形結合思想是數學的精髓與靈魂.

數形結合是研究數學問題并解決問題的模型轉化的一種基本思想與基本方法.它能溝通數與形的內在聯系.具體來說就是在研究問題的過程中既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何形式巧妙、和諧的結合起來，充分利用這種結合，尋找解決問題的思路，使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，從而使問題得以解決的一種重要的數學思想.

2.數形結合的價值

數形結合思想是中學數學重要的思想方法之一，在高中的數學學習中發揮著重要的作用.

首先，學生巧妙應用數形結合思想能掌握到更多的知識點，也能使學生對整體的知識點進行把控，形成良好的知識脈絡，將各類知識點融會貫通；并且也能有效改善學生的思維能力和解題思路，為他們提供更多的學習方法和解題思路，也能為學生提供更多的學習認知規律.

其次，正確的運用數學結合思想，能有效地培養學生的數學思維能力，豐富學生的思維方式.有利于對學生思維、興趣的培養，從而不僅可以減輕學生的負擔，也能給學生創造更好的學習思維方式.

再次，學會怎樣運用數形結合思想，也能幫助學生在學習中樹立良好的學習思想和學習習慣.可以幫助學生從多角度多層次思考問題，形成良好的思維方式；教導學生學會將抽象的問題具體化，更準確地把握問題本身；可以鍛煉學生的思維模式，也能鍛煉他們的創造能力的思維發展.

二、數形結合思想在三角函數中的應用

“依性作圖，以圖識性”是數形結合思想的重要體現.三角函數在本質上是對單位圓圓周上一點運動的“動態描述”，它的種種性質和公式都是和單位圓的幾何性質密切關聯的，這就要求在解決三角函數的相關問題上，應巧妙地運用單位圓中的三角函數線和三角函數圖形，以形助數，數形結合.數形結合貫穿了三角函數的整個章節，三角函數在單位圓中的定義得出了三角函數線、三角函數的圖象、圖象的變化等都需要圖象的支持.

1.利用數形結合，有利于學習難點化解

在推導三角函數的誘導公式時，教科書上是從代數(三角函數的坐標定義)的角度推導的，我們也可以利用三角函數的幾何表示(三角函數線)來推導.單位圓中的三角函數線可以使抽象問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性和靈活性的有機結合，也為學生的學習提供更廣闊的思維空間.

片段一：終邊相同的角的同一三角函數值相等.

如圖1，P是半徑為1的圓O上一點，點P的運動可以形象的描述為“周而復始”.當點P旋轉一周時又回到了原來的地點，由三角函數線可知終邊相同的角的同一三角函數值相等.

片段二：如果角α的終邊與角β的終邊關于x軸對稱.

如圖2，設角α、β的終邊分別與單位圓交于P、P′,分別與x=1交于T,T′，由三角函數線可知sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT；sinβ=MP′，cosβ=OM，tanβ=AT′；即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα.

當角α的終邊與角β的終邊關于y軸、原點對稱，學生類比以上方法很快得出一系列的誘導公式.

在圖示中，先取α為銳角，關于x軸對稱，作出-α；關于y軸對稱，作出π-α；關于原點對稱，作出π+α，利用三角函數線很容易得出書上的誘導公式.但當α不是銳角時，這些結論依然成立嗎？我們可以用坐標即三角的代數定義來嚴格證明.

在這學習的過程中利用三角函數線的推導體現了圖形的直觀性，學生很容易接受；再用坐標的代數證明又體現了數學的嚴謹性.學生掌握了誘導公式的本質，了解公式的來龍去脈，在理解中記憶，方能掌握得更扎實、更透徹，也為學生的學習提供更廣闊的思維空間.

2.利用數形結合，拓展解題思路

學生甲：作差

學生乙：觀察對角關系

教師：還有其他想法嗎？這個式子能用圖形來解釋嗎？

本題的數形結合揭示了三角函數在單位圓中的定義的本質特征，在具體的教學過程中，引導學生主動地探索、發現、領會其中的聯系.數學知識與圖形有著密切的聯系，以具體的數學知識為載體、潛移默化地將數形結合的思想不斷滲透，隨著數形結合的思想不斷體現，學生認知也會不斷發展和逐漸深化，同時不斷提升學生的創新意識和創新能力.

片段四 若α為銳角(單位為弧度)，試利用單位圓及三角函數線，比較α，sinα,tanα之間的大小關系.

生甲：畫單位圓，利用三角函數線，可以得到sinα

教師：本題的難點在于α的轉化，我們怎么把α轉化出來 呢？

教師：弧AP是曲線，怎么比較大小呢？我們該如何利用圖形證明？

生丙：因為S△AOP

學生們都鼓起了掌，覺得非常的巧妙.

教師：非常好，本題的難點就在于要把α轉化，先把α轉化成弧長，再利用三角形和扇形的面積大小得出結論，所以圖形在三角中也起著非常重要的作用，數與形的結合使抽象的問題具體化，形象化，學生很樂意的接受了.

在教學過程中我們既要關注數學知識，更要揭示和顯化蘊含在其中的數學思想方法，這樣數學知識不再是孤立的、零散的，而是具有了一定的聯系性、整體性與靈活性；我們不僅傳授數學知識，更要展示數學思維的美妙，引導學生體驗數學探索的過程.數學知識是數學思想方法的重要載體，數形結合思想方法在以上習題中的應用開闊了學生分析問題的視野，拓展了學生的思維、提升了學生轉化問題解決問題的能力.

“數”與“形”的轉化與結合不僅是一種重要的解題方法與策略，更是一種重要的數學思維與思想方法.首先需要的是一種意識：敏銳捕捉信息，恰當的時候建立適當的聯系；其次是一種轉化思想：根據數的結構特征，構造出與之相應的圖形，并利用圖形的性質和規律解決“數”的問題；再次是一種能力、一種思考的方式.在教學的過程中，讓學生了解數形結合思想產生的背景，把握數形結合思想的本質，感受數形結合思想的價值，形成良好的數學意識與數學思想.數與形相輔相成，和諧統一，完美結合，讓我們一同感受與體會數學之美，“數”與“形”牽手之妙.