例析圓錐曲線三類弦問題求解策略

蔡海濤

(福建省莆田第二中學 351131)

解析幾何是高考數學的重要考查內容，常作為試卷中高分選拔的試題.而直線與圓錐曲線位置關系問題又是解析幾何中常見的重要類型,縱觀近年來的高考題,圓錐曲線三類弦問題問題須引起我們關注.本文例談這幾類問題,并探究其求解策略.

在解決直線與圓錐曲線的弦長問題時，通常應用韋達定理與弦長公式.若涉及到“三類弦”(焦點弦、中點弦、原點弦)問題，則可根據各自的幾何特征，簡化運算，巧妙求解.

一、焦點弦

例1 (2018年高考全國Ⅱ卷·理19)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).

(2)所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.(過程略)

評注本題直線l過焦點F，故|AB|的長即為焦點弦長，所以把|AB|轉化為|AF|與|BF|兩條焦半徑的和，再利用定義，把這兩條焦半徑轉化為到準線的距離，問題得以解決.一般地，焦點弦問題常常可以利用定義來解決，可使得運算簡化，輕松求解.

二、中點弦

解(1)設A(x1,y1),B(x2,y2)，

評注與圓錐曲線的弦的中點有關問題,我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題.一般地，中點弦問題通常可以利用“點差法”，使得運算簡化，快速解決問題.

三、原點弦

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線l:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.

兩邊平方，整理得56k2-50k+11=0

四、鞏固訓練

(1)試證：若a、b、c不是等比數列，則橢圓E一定不是黃金橢圓；

(1)證明：點P在C上；

(2)設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

3.(1)略；(2)A、P、B、Q四點在以N為圓心,NA為半徑的圓上.