淺談“判斷函數(shù)奇偶性”的幾種情形

靳亦樸

(河北省邯鄲市第三中學(xué) 056001)

掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法和步驟，是本章節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).在老師的指導(dǎo)下，我試圖通過實(shí)例歸納了這類問題的求解方法.

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì).一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就稱作偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)嚴(yán)格按照函數(shù)奇偶性的判斷步驟進(jìn)行.

首先，根據(jù)解析式求出其定義域，若其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

一、判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)=0,x∈(-1,1]；

分析首先確定函數(shù)的定義域，可以事半功倍.

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)函數(shù)的定義域{2}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

其次，若其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.若f(-x)=f(x)則函數(shù)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù).

解(3)函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時(shí)，顯然-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).

(4)函數(shù)的定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

∵f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x),

∴該函數(shù)為偶函數(shù).

(5)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f(-x)=-2(-x)+1=2x+1≠f(x),-f(x)=-(-2x+1)=2x-1,f(-x)≠-f(x),

∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(6)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)a≠0時(shí)，f(-x)=|-x+a|-|x-a|=|x-a|-|x+a|=|x+a|-|x-a=-f(x),

此時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù).

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0，

∴f(-x))=f(x))=0,且f(-x))=f(x)=0,

此時(shí)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

綜上可知，當(dāng)a∈R，且a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

二、判斷分段函數(shù)的奇偶性

首先要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次，如果其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，要分段討論，必須判斷每一段是否都具有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的特征.

分析首先要特別注意x與-x的范圍，然后將它們代入相應(yīng)區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式中，f(x)與f(-x)一般對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，再按照奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷或證明.

解f(x)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,∴f(-x)=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x);當(dāng)x=0時(shí)，-x=0,∴f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x);當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則f(-x)=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).

綜上，當(dāng)x∈R時(shí)，總有f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).

三、抽象函數(shù)的奇偶性

在判斷此類函數(shù)的奇偶性時(shí)，需要判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系；也可以根據(jù)f(x)±f(-x)是否為0來判斷兩者的關(guān)系.

例4如(8)函數(shù)f(x),x∈R，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)，求證：f(x)為偶函數(shù).

分析f(x)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,欲證明f(x)為偶函數(shù),只需要證明f(-x)=f(x)即可.

證明由題意知f(x)的定義域?yàn)镽，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

∵對(duì)于任意的a,b∈R都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),

∴b=0,2f(a)=2f(a)f(0).若f(a)=0,a是任意實(shí)數(shù)，則f(x)=0,顯然是偶函數(shù).

若f(a)≠0，則f(0)=1.再令a=0,f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),f(-b)=f(b).

∴該函數(shù)是偶函數(shù).

此外，判斷函數(shù)的奇偶性還可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱情況進(jìn)行判斷.若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)(偶函數(shù))，否則就不具有奇偶性.

在學(xué)習(xí)這章節(jié)時(shí)，通過練習(xí)典型的例題，通過細(xì)微而敏銳的觀察，進(jìn)而聯(lián)想轉(zhuǎn)化.對(duì)于每一道題，無論難易，冷靜對(duì)待，牢記解題方法和技巧，養(yǎng)成良好習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).