淺談“判斷函數奇偶性”的幾種情形

靳亦樸

(河北省邯鄲市第三中學 056001)

掌握判斷函數的奇偶性的方法和步驟，是本章節的重點和難點.在老師的指導下，我試圖通過實例歸納了這類問題的求解方法.

函數的奇偶性是函數的“整體”性質.一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就稱作偶函數；如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),則函數f(x)為奇函數.判斷函數的奇偶性，應嚴格按照函數奇偶性的判斷步驟進行.

首先，根據解析式求出其定義域，若其定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

一、判斷下列函數的奇偶性

(1)f(x)=0,x∈(-1,1]；

分析首先確定函數的定義域，可以事半功倍.

解(1)函數的定義域為(-1,1]，不關于原點對稱，所以該函數既不是奇函數，也不是偶函數.

(2)函數的定義域{2}，不關于原點對稱，所以該函數既不是奇函數，也不是偶函數.

其次，若其定義域關于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系.若f(-x)=f(x)則函數為偶函數；若f(-x)=-f(x)，則函數為奇函數.

解(3)函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞)，關于原點對稱.當x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時，顯然-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).

(4)函數的定義域是R,關于原點對稱.

∵f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x),

∴該函數為偶函數.

(5)函數的定義域為R,關于原點對稱.∵f(-x)=-2(-x)+1=2x+1≠f(x),-f(x)=-(-2x+1)=2x-1,f(-x)≠-f(x),

∴該函數既不是奇函數，也不是偶函數.

(6)∵函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱.

當a≠0時，f(-x)=|-x+a|-|x-a|=|x-a|-|x+a|=|x+a|-|x-a=-f(x),

此時，函數為奇函數.

當a=0時，f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0，

∴f(-x))=f(x))=0,且f(-x))=f(x)=0,

此時，函數f(x)既是奇函數，又是偶函數.

綜上可知，當a∈R，且a≠0時，函數f(x)為奇函數；當a=0時，函數f(x)既是奇函數，又是偶函數.

二、判斷分段函數的奇偶性

首先要判斷函數的定義域是否關于原點對稱；其次，如果其定義域關于原點對稱，要分段討論，必須判斷每一段是否都具有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的特征.

分析首先要特別注意x與-x的范圍，然后將它們代入相應區間的函數表達式中，f(x)與f(-x)一般對應不同的表達式，再按照奇偶函數的定義進行判斷或證明.

解f(x)定義域為R，關于原點對稱.

當x>0時，-x<0,∴f(-x)=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x);當x=0時，-x=0,∴f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x);當x<0時，-x>0,則f(-x)=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).

綜上，當x∈R時，總有f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數.

三、抽象函數的奇偶性

在判斷此類函數的奇偶性時，需要判斷f(-x)與f(x)的關系；也可以根據f(x)±f(-x)是否為0來判斷兩者的關系.

例4如(8)函數f(x),x∈R，若對于任意實數a,b,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)，求證：f(x)為偶函數.

分析f(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱,欲證明f(x)為偶函數,只需要證明f(-x)=f(x)即可.

證明由題意知f(x)的定義域為R，∴定義域關于原點對稱.

∵對于任意的a,b∈R都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),

∴b=0,2f(a)=2f(a)f(0).若f(a)=0,a是任意實數，則f(x)=0,顯然是偶函數.

若f(a)≠0，則f(0)=1.再令a=0,f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),f(-b)=f(b).

∴該函數是偶函數.

此外，判斷函數的奇偶性還可以根據函數圖象的對稱情況進行判斷.若函數的圖象關于原點(y軸)對稱，則函數為奇函數(偶函數)，否則就不具有奇偶性.

在學習這章節時，通過練習典型的例題，通過細微而敏銳的觀察，進而聯想轉化.對于每一道題，無論難易，冷靜對待，牢記解題方法和技巧，養成良好習慣，提高數學素養.