回避二次求導巧斷導數符號

李秀元 朱丹丹

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

導數是研究函數單調性的最有力工具，函數的增減性取決于導數的正負.一般情形下，導數符號是比較容易判斷的，無外乎一次式、二次式、指數式、對數式等取值的確定.但是，并不是所有的函數，其導數符號都是好確定的，有的甚至需要二次求導來確定取值范圍.雖說求導方法沒有問題，但學生似乎不太適應二次求導.本文通過舉例，說明在恒成立問題中，不進行二次求導巧斷導數符號的方法，供大家參考.

一、利用函數各部分的取值，直接判斷導數符號

分析不等式恒成立問題，通常進行參變分離，進而轉化成求函數的最值，而復雜函數的最值往往離不開求導.參變分離后，新構建函數的導數是復雜的，若從自變量的取值范圍入手，考察導數各部分的取值，則導數符號立顯.

點評對函數求導后沒有盲目進行二次求導，退而求其次，結合x的取值范圍，直接確定導函數中各部分的正負，進而確定導數的正負，這是確定導數符號的最簡單、最直接方法，需要學生對函數結構有一定的敏感度，因為不是所有的導函數都有這樣的結構.

說明本題如果依托數形結合思想，借助直觀，通過比較函數f(x)和y=g(x)+2圖象來確定參數的取值.但當m>0時，又不能很好解釋兩圖象的高低，成為解題的瑕疵.

二、利用函數單調性判斷導數符號

顯然函數h(x)=1-lnx-x3為(0，+∞)上的減函數，且h(1)=0，故當x∈(0，1)時，h(x)>0，則g′(x)>0；當x∈(1，+∞)時，h(x)<0，則g′(x)<0.

點評關注基本初等函數的單調性，確定復雜函數的單調性，是成功回避二次求導的另一種重要手段，簡單、直接，快速、易操作.

三、解導數不等式，利用函數圖象直觀判斷導數符號

點評本題將雙參數恒成立問題中的參數逐個破解，層次分明，同時對不等式作等價變換.在判斷函數的單調性時，沒有一味求導(二次求導)，而是通過求解不等式，進而對求解不等式作等價變換，轉化成比較兩個簡單函數圖象的高低問題，構思巧妙.

(1)討論f(x)的單調性；

解(1)函數f(x)的定義域為(0，+∞).

①當a≥0時，由f′(x)>0得x>2，由f′(x)<0得0

所以f(x)為(0，2)上的減函數，(2，+∞)上的增函數.

令g(x)=ax2-4ax，h(x)=3+4lnx-2x.

當a≥0時，顯然ax2-4ax≥3+4lnx-2x不恒成立，故a<0.

點評不走尋常路，是本題求解的一大突破.通過不等式等價變形，構建基本初等函數，利用函數圖象的直觀，巧妙形成判斷條件，大大縮減討論的空間，節省了解題時間.