回避二次求導(dǎo)巧斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)

李秀元 朱丹丹

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的最有力工具，函數(shù)的增減性取決于導(dǎo)數(shù)的正負(fù).一般情形下，導(dǎo)數(shù)符號(hào)是比較容易判斷的，無外乎一次式、二次式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等取值的確定.但是，并不是所有的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)符號(hào)都是好確定的，有的甚至需要二次求導(dǎo)來確定取值范圍.雖說求導(dǎo)方法沒有問題，但學(xué)生似乎不太適應(yīng)二次求導(dǎo).本文通過舉例，說明在恒成立問題中，不進(jìn)行二次求導(dǎo)巧斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的方法，供大家參考.

一、利用函數(shù)各部分的取值，直接判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)

分析不等式恒成立問題，通常進(jìn)行參變分離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，而復(fù)雜函數(shù)的最值往往離不開求導(dǎo).參變分離后，新構(gòu)建函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是復(fù)雜的，若從自變量的取值范圍入手，考察導(dǎo)數(shù)各部分的取值，則導(dǎo)數(shù)符號(hào)立顯.

點(diǎn)評(píng)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后沒有盲目進(jìn)行二次求導(dǎo)，退而求其次，結(jié)合x的取值范圍，直接確定導(dǎo)函數(shù)中各部分的正負(fù)，進(jìn)而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，這是確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)的最簡(jiǎn)單、最直接方法，需要學(xué)生對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)有一定的敏感度，因?yàn)椴皇撬械膶?dǎo)函數(shù)都有這樣的結(jié)構(gòu).

說明本題如果依托數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀，通過比較函數(shù)f(x)和y=g(x)+2圖象來確定參數(shù)的取值.但當(dāng)m>0時(shí)，又不能很好解釋兩圖象的高低，成為解題的瑕疵.

二、利用函數(shù)單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)

顯然函數(shù)h(x)=1-lnx-x3為(0，+∞)上的減函數(shù)，且h(1)=0，故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h(x)>0，則g′(x)>0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，h(x)<0，則g′(x)<0.

點(diǎn)評(píng)關(guān)注基本初等函數(shù)的單調(diào)性，確定復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，是成功回避二次求導(dǎo)的另一種重要手段，簡(jiǎn)單、直接，快速、易操作.

三、解導(dǎo)數(shù)不等式，利用函數(shù)圖象直觀判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)

點(diǎn)評(píng)本題將雙參數(shù)恒成立問題中的參數(shù)逐個(gè)破解，層次分明，同時(shí)對(duì)不等式作等價(jià)變換.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，沒有一味求導(dǎo)(二次求導(dǎo))，而是通過求解不等式，進(jìn)而對(duì)求解不等式作等價(jià)變換，轉(zhuǎn)化成比較兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)圖象的高低問題，構(gòu)思巧妙.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).

①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′(x)>0得x>2，由f′(x)<0得0

所以f(x)為(0，2)上的減函數(shù)，(2，+∞)上的增函數(shù).

令g(x)=ax2-4ax，h(x)=3+4lnx-2x.

當(dāng)a≥0時(shí)，顯然ax2-4ax≥3+4lnx-2x不恒成立，故a<0.

點(diǎn)評(píng)不走尋常路，是本題求解的一大突破.通過不等式等價(jià)變形，構(gòu)建基本初等函數(shù)，利用函數(shù)圖象的直觀，巧妙形成判斷條件，大大縮減討論的空間，節(jié)省了解題時(shí)間.