以對(duì)稱突破不對(duì)稱
——巧構(gòu)對(duì)稱函數(shù)，妙解極值點(diǎn)偏移

黃光鑫

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué)(高中部) 610066)

在近幾年的數(shù)學(xué)高考試題和各地的模擬試題中經(jīng)常出現(xiàn)涉及極值點(diǎn)偏移的函數(shù)問(wèn)題.這類問(wèn)題運(yùn)算復(fù)雜，技巧性強(qiáng)，通常以壓軸題的形式出現(xiàn)，讓很多考生感到困難重重.

數(shù)學(xué)里充滿了辨證法.我們知道矛盾無(wú)處不在，矛盾無(wú)處不有，比如：變量與常量、運(yùn)動(dòng)與靜止、普遍與特殊、抽象與具體、相等與不等、對(duì)稱與不對(duì)稱等等處處都是矛盾.我們還知道矛盾雙方在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.筆者正是從辨證思維的角度思考了極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，找到了解決這類問(wèn)題的最合乎情理的方法.

例1 (2016·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

分析與講解(Ⅰ)f′(x)=(x-1)(ex+2a).

①當(dāng)a=0時(shí)，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，與已知不符.

③當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上所述，a的取值范圍為(0,+∞)．

不妨設(shè)x11，將f(x)位于x=1左側(cè)的圖象對(duì)稱到右側(cè)(如圖1)，易知其解析式為：y=f(2-x).記h(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+xe2-x,x∈(1,+∞),

h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).

顯然x-1>0，所以h(x)=(x-1)(ex-e2-x)>0，h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0,

即f(x)>f(2-x).取x=2-x1得f(2-x1)>f(x1)=f(x2),2-x1>1,x2>1.據(jù)(1)可知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以2-x1>x2,即x1+x2<2.

圖1 圖2

至此問(wèn)題得到了輕松解決！上面的解法并沒(méi)有高不可攀的技巧，只需按照以下幾個(gè)步驟操作就行：

第一步：將函數(shù)y=f(x)位于極值點(diǎn)(a,0)一側(cè)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱到另一側(cè)，得到y(tǒng)=f(2a-x)的圖象.

第二步：引入輔助函數(shù)h(x)=f(x)-f(2a-x)，x∈(a,+∞)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究h(x)的正負(fù)，得到不等式f(x)>f(2a-x)(或f(x)

第三步：在上述不等式中令x=2a-x1，并結(jié)合條件f(x1)=f(x2)，利用f(x)的單調(diào)性脫掉f就得到結(jié)論.

再看一題：

①當(dāng)a=0時(shí)，h(x)=x+1>0，從而f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，h(x)>h(0)=0，從而f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

在區(qū)間(0,x4)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(x4,+∞)上,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞.

上述兩例通過(guò)巧妙地構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，以對(duì)稱突破不對(duì)稱，很好地解決了極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題.大家是否可以感受到這樣的解答方法，不僅最自然合乎情理，最好操作，易于被學(xué)生接受，而且閃爍著辨證的光芒！