以對稱突破不對稱
——巧構對稱函數，妙解極值點偏移

黃光鑫

(四川師范大學附屬中學(高中部) 610066)

在近幾年的數學高考試題和各地的模擬試題中經常出現涉及極值點偏移的函數問題.這類問題運算復雜，技巧性強，通常以壓軸題的形式出現，讓很多考生感到困難重重.

數學里充滿了辨證法.我們知道矛盾無處不在，矛盾無處不有，比如：變量與常量、運動與靜止、普遍與特殊、抽象與具體、相等與不等、對稱與不對稱等等處處都是矛盾.我們還知道矛盾雙方在一定條件下可以互相轉化.筆者正是從辨證思維的角度思考了極值點偏移的問題，找到了解決這類問題的最合乎情理的方法.

例1 (2016·全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析與講解(Ⅰ)f′(x)=(x-1)(ex+2a).

①當a=0時，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點，與已知不符.

③當a<0時，由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上所述，a的取值范圍為(0,+∞)．

不妨設x11，將f(x)位于x=1左側的圖象對稱到右側(如圖1)，易知其解析式為：y=f(2-x).記h(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+xe2-x,x∈(1,+∞),

h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).

顯然x-1>0，所以h(x)=(x-1)(ex-e2-x)>0，h(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以h(x)>h(1)=0,

即f(x)>f(2-x).取x=2-x1得f(2-x1)>f(x1)=f(x2),2-x1>1,x2>1.據(1)可知f(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以2-x1>x2,即x1+x2<2.

圖1 圖2

至此問題得到了輕松解決！上面的解法并沒有高不可攀的技巧，只需按照以下幾個步驟操作就行：

第一步：將函數y=f(x)位于極值點(a,0)一側的圖象關于直線x=a對稱到另一側，得到y=f(2a-x)的圖象.

第二步：引入輔助函數h(x)=f(x)-f(2a-x)，x∈(a,+∞)，用導數的方法研究h(x)的正負，得到不等式f(x)>f(2a-x)(或f(x)

第三步：在上述不等式中令x=2a-x1，并結合條件f(x1)=f(x2)，利用f(x)的單調性脫掉f就得到結論.

再看一題：

①當a=0時，h(x)=x+1>0，從而f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增，函數y=f(x)至多一個零點，不合題意.

②當a>0時，h(x)>h(0)=0，從而f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增，函數y=f(x)至多一個零點，不合題意.

在區間(0,x4)上,f′(x)>0,f(x)單調遞增；在區間(x4,+∞)上,f′(x)<0,f(x)單調遞減.

當x→0時，f(x)→-∞，當x→+∞時，f(x)→-∞.

上述兩例通過巧妙地構造對稱函數，以對稱突破不對稱，很好地解決了極值點偏移的問題.大家是否可以感受到這樣的解答方法，不僅最自然合乎情理，最好操作，易于被學生接受，而且閃爍著辨證的光芒！