左顧右盼話分段函數

馮 寅

(浙江省湖州中學 313000)

分段函數是高中階段常見的函數形式，由于它在不同的區間上的表達式不同，所以在解決問題時一定要關注在不同段上的表達式的特點，這樣才能從整體上處理好分段函數的問題.

一、左右交替的求值

求分段函數的某個函數值，是和分段函數有關問題中最常見的，所求的函數值往往和分段函數的不同形式都有關系，這時要求我們注意每段的條件，經常在不同分段中交替求值.

分析這個問題想要求出f(f(a))的表達式比較困難，它即和a的范圍有關，也和f(a)的范圍有關，這樣的分類討論很困難，所以我把f(a)看成一個整體來分類討論.

二、左右銜接的單調

在分段函數中研究函數的單調性，要分別考慮不同段的單調性，還要考慮在分段點處的銜接，分段點的不同取值可以保持或改變兩段的單調性.

問題3 已知a>0，函數f(x)=

下面觀察分段點x=0的情況.

然后考慮在分段點的函數值情況，應該滿足函數y=(3a-1)x+4a在x=1時的函數值，不小于函數y=logax在x=1時的函數值，即(3a-1)+4a≥0. (2)

三、左右交叉的奇偶

函數的奇偶性必須研究定義域范圍內的所有實數，所以研究分段函數奇偶性時要注意每段都要研究，并且注意每段都要兼顧交叉.

分析判斷函數的奇偶性必需按照奇偶性的定義，對定義域內的所有實數進行分析驗證，對分段函數的情況，函數的取值還要考慮分段函數的要求.

當x>0時，-x<0，則f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x)；

當x<0時，-x>0，則f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x)；

當x=0時，f(-0)=-f(0)=0.

因此，函數f(x)是R上的奇函數.

分析此題的關鍵是如何利用f(x)為R上的奇函數的條件，確定g(x)的表達式.

因此g(x)=-x2+2x，所以g(-1)=-3，f(g(-1))=f(-3)=g(-3)=-(-3)2+2×(-3)=-15.

四、左右分割的零點

分段函數的零點由于在不同段的函數表達式不同，所以要分段獨立思考，通過不同段上的研究再整合為整體的情況.

分析1 代數方法分類討論.

從分段函數的解析式可知，f(x)=2x-a在區間(-∞,1]上是增函數，所以最多只有一個零點. 設零點為x0，即f(x0)=0，則2x0-a=0，則x0=log2a，因此，0

下面對a進行討論，研究函數整體的零點存在情況.

(1)當a≤0時,f(x)=2x-a(x<1)無零點；f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)無零點！

(2)當0

(3)當a≥2時,f(x)=2x-a(x<1)無零點；要使原函數有且只有兩個零點，必須f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)恰有兩個零點a,2a，故a≥2.

分析2 利用函數圖象分析

(1)當a≥1時，因為f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)已有兩個零點a,2a，要使f(x)恰有兩個零點，必須f(x)=2x-a(x<1)無零點.

作出函數的圖象(圖1)，可知2-a≤0，即a≥2.

(2)當a<1時，因為f(x)=2x-a(x<1)有一個零點，要使f(x)恰有兩個零點，必須f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)只有一個零點.

五、左右比較的最值

當分段函數遇到函數的最大(小)值問題時，一般都會先分段確定函數的最大(小)值，再根據條件對確定的最大(小)值進行分析比對，找到符合整體要求的最大(小)值.

從上述的五個方面的研究，我們可以看出分段函數的性質研究，必需在函數性質研究的基礎上關注不同段上函數性質的特點，通過每段的分解、合成、交叉解決分段函數的問題.