柯西不等式三用

施建昌 陳文珍

(1.浙江省紹興市柯橋區教師發展中心 312030;2.浙江省紹興市錫麟中學 312069)

柯西不等式不僅形式優美而且具有重要的應用價值，許多不等式問題通過柯西不等式化解往往事半功倍，使人耳目一新．下面就柯西不等式的三個重要應用進行例析.

一、變形湊數用柯西

點評直接應用柯西不等式化解的問題一般易于破解，有些問題不易直接進行化解，則需要進行必要的湊、補等手段才能達到，因此要注意對于已知的式子進行必要的變形，以利于柯西不等式的應用．

二、二用柯西傳遞證

例2已知正數a,b,c滿足a+b+c=1，

分析這個問題首選要進行變形運用柯西不等式，將不等式兩邊同乘以3進行轉化，但一步很難達到目標，則時不妨再用柯西不等式進行處理，問題便可迎刃而解．

點評對于柯西不等式的應用，有時一步不能完成，要注意是否繼續符合或變形后符合柯西不等式的情況，如果符合則要繼續應用柯西不等式進行化解．

三、減少變量用柯西

例3已知實數a,b,c,d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，試求a的范圍.

分析這是一個涉及到四個變量的柯西不等式問題，對于三維柯西不等式的應用還是有公式可擴展的，但這個涉及到四元的柯西不等式直接求解難度較大，需要通過恒等變形減少變量以達到目標．

點評減少變量個數運用柯西不等式是一種變形技巧，一般理解是四元的就用四元的柯西不等式，然而因為要求其中的一個變量的范圍，因此要注意減少一個變量運用柯西不等式，通過柯西不等式轉化為所求變量的一元不等式進行處理．

柯西不等式作為選修模塊的一個重要內容，在不等式問題的處理中占有重要地位，在學習其必要性質的前提下，理解和掌握好以上三類柯西不等式的重要應用十分必要．