例談利用導數判斷帶參數函數的單調性

龔亮亮

(江蘇省南京市第三高級中學 210000)

導數是研究函數的重要工具，利用導數來判斷函數的單調性是近幾年高考重點考查內容.本文通過例題分析，對解決帶參數函數的單調性這一類問題進行總結.

例1求函數y=3x2-2lnx的單調減區間.

例2已知f(x)=ex-ax-1,試求f(x)的單調遞增區間.

分析要求f(x)的單調遞增區間，由于定義域為R，只需對函數求導，令導數大于零即可.但導數f′(x)中帶有參數，怎么辦？因此，需要我們對參數a進行討論.那么討論的標準呢？筆者認為要抓住導函數是否存在零點，因此需要對a的正負進行討論.

解∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.

令f′(x)≥0，得ex≥a.

當a≤0時，有f′(x)>0在R上恒成立；

當a>0時，有x≥lna.

綜上，當a≤0時，f(x)的單調增區間為(-∞,+∞);

當a>0時，f(x)的單調增區間為[lna,+∞).

反思：本題求導以后是關于x的二次函數，參數在常數項位置，因此直接仿照例2對參數a進行討論即可.

例3設函數f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0，求f(x)的單調區間.(注：e為自然對數的底數)

讀者可以思考：若a∈R呢？

分析對函數f(x)求導以后跟例3一樣，也只需對分子部分的二次式x2-ax+2討論即可.但跟例3比較也有不同之處，本題二次式x2-ax+2不可直接因式分解，怎么辦？如何討論？

當Δ=a2-8<0，對?x>0,f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上遞增.

當Δ=0，∴f(x)在(0,+∞)上遞增.

故在(0,x1)增，在(x1,x2)減，在(x2,+∞)增.

反思本題求導以后需討論的分子部分也是關于x的二次函數，參數在一次項位置，但不能直接因式分解，因此仍然抓住函數的零點，通過判別式結合圖象對參數a進行討論.

例5已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,討論函數f(x)的單調性.

分析本題因為定義域為(0,+∞)，因此僅需對求導后的分子部分進行討論.由于x2前面帶有參數a，因此判斷2ax2+a+1是否存在零點，首先要對a是否為0進行討論.還要注意到常數項是a+1，因此還需對a進一步討論.

當a≥0時，f′(x)>0,故f(x)在(0，+∞)單調遞增；

當a≤-1時，f′(x)<0,故f(x)在(0，+∞)單調遞減；

令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),

(1)當a=0時，g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),所以當x∈(0,1)時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數f(x)單調遞減.

x∈(1,+∞)時，g(x)<0,此時函數f′(x)<0單調遞增.

綜上所述：當a≤0 時，函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在 (1, +∞)上單調遞增；

反思本題關鍵是對g(x)=ax2-x+1-a進行分析討論，與例5相比g(x)多了一次項.但問題解決的關鍵仍然是對g(x)=ax2-x+1-a的零點進行討論.

由此可見，利用導數求帶參函數的單調區間，往往到最后即轉化為對導函數中的二次函數部分進行的討論問題，題目難度可隨參數位置不同而不同.當然，我們分類討論的時候只要抓住了導函數是否存在零點，如果存在零點, 零點是否在定義域內以及零點是否相等,一般都可以將問題解決.