指數(shù)運算中常用的方法與技巧

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

在指數(shù)運算中，若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑒t可以簡化運算.下面舉例說明.

一、利用整體代換

二、把小數(shù)化為分數(shù)、把帶分數(shù)化為假分數(shù)

若底數(shù)(或指數(shù))是小數(shù)時，則可化為分數(shù)；若底數(shù)是帶分數(shù)時，則可化為假分數(shù).

三、利用或

在指數(shù)運算中，把指數(shù)式進行因式分解或約分，可以使運算簡化.

分析根據(jù)本題特點，應(yīng)注意到

x-1=(x1/3)3-13=(x1/3-1)(x2/3+x1/3+1),

x+1=(x1/3)3+13=(x1/3+1)(x2/3-x1/3+1),

x-x1/3=x1/3[(x1/3)2-1]=x1/3(x1/3+1)(x1/3-1).

=x1/3-1+x2/3-x1/3+1-x2/3-x1/3=-x1/3.

評注解此類問題，還要注意運用指數(shù)運算中的乘法公式：

(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)=a-b；(a1/2±b1/2)2=a±2a1/2b1/2+b；

(a1/3±b1/3)(a2/3?a1/3b1/3+b2/3)=a±b.

四、利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化

若底數(shù)是根式時，一般將根式統(tǒng)一寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后進行運算化簡；有時也可根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點把分數(shù)指數(shù)冪化為根式較為方便.

解原式=(a3/2·a3/2)1/3·[(a-5)-1/2·(a-1/2)13]1/2=(a0)1/3·(a5/2·a-13/2)1/2=(a-4)1/2=a-2.

五、利用ap·a-p=1(a≠0,p是正整數(shù))

在指數(shù)運算中，若靈活運用ap·a-p=1進行代換，則可以化難為易.

=a-1/2-a-1/2=0.

六、利用乘法公式

學(xué)習(xí)了負整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪以后，應(yīng)習(xí)慣對負整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪直接應(yīng)用乘法公式來計算，例如a-2-b-2=(a-1-b-1)(a-1+b-1)，a2-2+a-2=(a-a-1)2，a-b=(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)等.

七、利用

利用這個性質(zhì)，顛倒底數(shù)的分子分母的位置，直接把負指數(shù)化為正指數(shù)，反之亦然.

八、利用換元法

解設(shè)m1/3=x，m-1/3=y，則xy=1.