指數運算中常用的方法與技巧

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

在指數運算中，若能根據題目的結構特征選擇適當的方法，則可以簡化運算.下面舉例說明.

一、利用整體代換

二、把小數化為分數、把帶分數化為假分數

若底數(或指數)是小數時，則可化為分數；若底數是帶分數時，則可化為假分數.

三、利用或

在指數運算中，把指數式進行因式分解或約分，可以使運算簡化.

分析根據本題特點，應注意到

x-1=(x1/3)3-13=(x1/3-1)(x2/3+x1/3+1),

x+1=(x1/3)3+13=(x1/3+1)(x2/3-x1/3+1),

x-x1/3=x1/3[(x1/3)2-1]=x1/3(x1/3+1)(x1/3-1).

=x1/3-1+x2/3-x1/3+1-x2/3-x1/3=-x1/3.

評注解此類問題，還要注意運用指數運算中的乘法公式：

(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)=a-b；(a1/2±b1/2)2=a±2a1/2b1/2+b；

(a1/3±b1/3)(a2/3?a1/3b1/3+b2/3)=a±b.

四、利用根式與分數指數冪的互化

若底數是根式時，一般將根式統一寫成分數指數冪的形式，然后進行運算化簡；有時也可根據式子的結構特點把分數指數冪化為根式較為方便.

解原式=(a3/2·a3/2)1/3·[(a-5)-1/2·(a-1/2)13]1/2=(a0)1/3·(a5/2·a-13/2)1/2=(a-4)1/2=a-2.

五、利用ap·a-p=1(a≠0,p是正整數)

在指數運算中，若靈活運用ap·a-p=1進行代換，則可以化難為易.

=a-1/2-a-1/2=0.

六、利用乘法公式

學習了負整數指數冪和分數指數冪以后，應習慣對負整數指數冪和分數指數冪直接應用乘法公式來計算，例如a-2-b-2=(a-1-b-1)(a-1+b-1)，a2-2+a-2=(a-a-1)2，a-b=(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)等.

七、利用

利用這個性質，顛倒底數的分子分母的位置，直接把負指數化為正指數，反之亦然.

八、利用換元法

解設m1/3=x，m-1/3=y，則xy=1.