關于單調區間形似質異問題

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

函數的單調區間是函數的重要性質，許多問題表面非常相似，往往使人混淆，但其本質相差甚遠.本文對單調區間的的一組形似質異問題，進行梳理歸納，并配多角度轉化.

題型分類：

(1)函數y=f(x)的增區間為(a,b)轉化為方程等式問題解決.

(2)函數y=f(x)在間為(a,b)上單調遞增轉化為f′(x)≥0在(a,b)上的恒成立問題解決.

(3)函數y=f(x)在區間為(a,b)存在單調遞增區間轉化為f′(x)≥0在(a,b)上有解問題解決或者轉化為“恒減取補”問題解決.

(4)函數y=f(x)在區間為(a,b)上不單調轉化為導函數在區間(a,b)上有解問題解決或至少有一個極值點問題解決.

例1函數f(x)=x3+ax+8的單調遞減區間為(-5,5)，則a=( ).

例2已知a∈R，函數f(x)=(-x2+ax)ex在(-1,1)上單調遞增，求a的取值范圍.

解析因為函數f(x)=(-x2+ax)ex在(-1,1)上單調遞增，所以轉化為f′(x)≥0在(-1,1)恒成立.

思路一 “有解”

思路二 “能成立”

例4 已知函數f(x)=x3-3ax2+3x+1，若函數f(x)在區間(2，3)上不單調，求a的取值范圍.

解析對“不單調”從不同角度等價解析，函數在區間上不單調?函數在區間上至少有一個極值點.

思路一f′(x)=3x2-6ax+3,Δ=36(a2-1).