例談高考圓錐曲線問題中的配極背景

張勝利

(新疆烏魯木齊市第一中學(xué) 830000)

圓錐曲線是非常優(yōu)美的曲線，高中數(shù)學(xué)中利用“坐標(biāo)法”揭示了其豐富的性質(zhì)，展現(xiàn)了完美的“數(shù)形結(jié)合”.其實，在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一些問題、結(jié)論已經(jīng)涉及到圓、橢圓、雙曲線、拋物線的極線；配極理論是圓錐曲線一套非常漂亮、實用的性質(zhì)，在歷年高考試題中也有它的背景.本文做些極線、極點的介紹、應(yīng)用，與各位讀者共同學(xué)習(xí).

定義1圓錐曲線的配極：已知圓錐曲線Ω所在平面上一點P(非中心)，過P作兩條直線PP1P2和PP3P4分別交Ω于兩點P1、P2和P3、P4，過點P1、P2引Ω的切線交于點X，過點P3、P4引Ω的切線交于點Y，稱直線XY是點P關(guān)于圓錐曲線Ω的極線，同時點P是直線XY關(guān)于圓錐曲線Ω的極點.我們把圓錐曲線的一對極點、極線稱為配極.

顯然，當(dāng)點P在圓錐曲線Ω上時，極線就是過點P圓錐曲線Ω的切線；當(dāng)點P在圓錐曲線Ω外時，極線就是過P引Ω的兩條切線得兩切點的連線.特殊的，圓錐曲線的焦點與準(zhǔn)線就是一對配極.

一般的，設(shè)圓錐曲線Ω的割線PAB、PDC與Ω交于點A、B、C、D，AC與BD、AD與BC的交點分別為M、N，如圖，則直線MN是點P的極線、直線MP是點N的極線、直線NP是點M的極線.

在直角坐標(biāo)系中，有以下結(jié)論：

設(shè)圓(橢圓、雙曲線)的方程為mx2+ny2=1，點P(x0，y0)是異于原點(中心)的點，則直線l：mx0x+ny0y=1就是點P的極線.

設(shè)拋物線的方程為y2=2px，點P(x0，y0)是異于原點(頂心)的點，則直線l：y0y=p(x0+x)就是點P的極線.

結(jié)合圓錐曲線的配極有以下結(jié)論：

一般地，過極點C的直線交極線于點D、交圓錐曲線于點A、B，則A、B、C、D是調(diào)和點列.

以上結(jié)論，可以查閱射影幾何或其它相關(guān)書籍，這里限于篇幅就不證明了.下面主要探究幾例高考試題中的配極背景.

(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)(用m，n表示)；

(2)設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

解(1)橢圓略.

通過分析配極，能夠更進(jìn)一步認(rèn)識此問題的本質(zhì)，求解也方便多了.同時，通過本例我們注意到了調(diào)和點列與定義等價的一個性質(zhì)：已知A、B、C、D是調(diào)和點列，O是線段AB的中點，則OC·OD=OA2，反之也成立.

例2[2013·陜西卷(理)] 已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1) 求動圓圓心的軌跡C的方程;

(2) 已知點B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q, 若x軸是∠PBQ的角平分線, 證明直線l過定點.

解(1)略.

(2)由(1)知C:y2=8x，點T(1，0)關(guān)于C的極線方程是：4(x+1)=0即x=-1.

通過本例，我們發(fā)現(xiàn)：一條直線與一個角的兩邊及其內(nèi)外角平分線的交點成調(diào)和點列.其實，這是調(diào)和線束的特殊情況.

定義3調(diào)和線束：如果共點的四條直線與一條直線的四個交點成調(diào)和點列，則稱這四條直線是調(diào)和線束.

通過上面的例子我們可以得到以下結(jié)論：

如圖，設(shè)l、m、n、k是調(diào)和線束(即A、B、C、D是調(diào)和點列)； 當(dāng)OC是∠AOB的角平分線時，OD是∠AOB的外角平

分線，故OC⊥OD；反之，當(dāng)OC⊥OD時，有OC平分∠AOB(證明略).

例3[2015·福建卷(文)]已知點F為拋物線E∶y2=2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點G(-1，0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

解(1)略.

(2)由(1)知拋物線E∶y2=4x，焦點F(1，0)，準(zhǔn)線x=-1，過點G作x軸垂線GK，如圖，則直線GK是點F的極線.設(shè)直線AB交直線GK于點K，則A、B、F、K是調(diào)和點列，∴GA、GB、GF、GK是調(diào)和點列.而GF⊥GK，∴GF(即x軸)平分∠AGB，故以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

關(guān)于拋物線焦點弦、準(zhǔn)線的綜合問題經(jīng)常見，本例揭示了其中一種的幾何本質(zhì)，讓人印象深刻.

(1)求橢圓C的離心率；

解(1)略.

通過本例，我們知道了調(diào)和點列的又一個與定義等價的性質(zhì).根據(jù)調(diào)和點列的性質(zhì)，可以證明：調(diào)和線束與任何直線相交所得的四個點都是調(diào)和點列.

(1)求橢圓C的方程;

(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在求λ的值;若不存在,說明理由.

解(1)略.

∴存在λ=2.

配極理論是射影變換在幾何中完美地應(yīng)用，是射影幾何中的一個重要知識點.高中解析幾何中一些結(jié)論都可以找到它的背景，引領(lǐng)一部分學(xué)生學(xué)習(xí)一點相關(guān)的知識，對于提升對幾何的認(rèn)識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都大有益處.筆者曾在奧賽輔導(dǎo)教學(xué)中有過嘗試，一些學(xué)生很感興趣，而且接受得比預(yù)想中的快，說不定就此在未來的數(shù)學(xué)家心中埋下了一顆種子，倘若如此，不失為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育工作者最大的欣慰！