對高考真題中分段函數考查的分類解析

王海平

(廣東省惠陽高級中學實驗學校 516057)

在高中數學考試大綱中，對分段函數的知識點有如下要求:(1)了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念. (2)在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數.(3)了解簡單的分段函數，并能簡單應用. (4)理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.(5)會運用函數圖象理解和研究函數的性質.對近年來的高考試卷分析后，重點有以下三個考點，

一、求簡單的分段函數的函數值

分段函數的求解過程,常要結合分段討論和數形結合的思想,解題完成后再進行代入檢驗.

A．3 B．6 C．9 D．12

答案:C

解析由已知得f(-2)=1+log24=3.又log212>1，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6.故f(-2)+f(log212)=9，故選C．

答案：C

解析當a≥1時,f(a)=2a>1,所以,f(f(a))=2f(a),即a>1符合題意.

二、求分段函數的單調性

函數的單調性是關于函數的一個重點考查角度,由于對分段函數的單調性的考查題目設置角度豐富,涵蓋的知識點具有多樣性和靈活性,因此相關的題目也豐富多彩.

答案：C.

A．(-∞，1] B．(0，+∞)

C．(-1，0) D．(-∞，0)

點評例題一給出了分段函數的單調性,要求符合題意的參數范圍,例題二給出了兩個函數值的大小,要求得出自變量的范圍,這類型題目都是在考查給定函數的變化情況,也就是函數的單調性,研究分段函數的單調性,首先需要確定在不同范圍上各個初等函數的變化情況,然后再結合分段函數的單調性判斷各段函數的臨界點需要滿足的約束條件,需要同學們對基本初等函數的研究到位并且具有從局部到整體的解決問題的角度.

三、求分段函數的值域

對分段函數的值域的考查可以看作是對分段函數單調性的考查的一個延伸,是在對分段函數的變化情況的研究后對函數值的范圍的判斷,常常也需要對分段函數的圖象有基本的把握.

①若a=0，則f(x)的最大值為____；

②若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是____.

答案：2,(-∞,-1).

解析求分段函數的最值時，應從局部到整體,根據自變量的范圍選擇相應的解析式,先確定每個解析式在相應范圍上的最值,再整體比較得出分段函數的最值.含有參數的問題,還需要有對圖象進行變化的能力.

答案：(1,2]

解析當x≤2，故-x+6≥4，要使得函數f(x)的值域為[4,+∞)，只需f1(x)=3+logax(x>2)的值域包含于[4,+∞)，故a>1，所以f1(x)>3+loga2，所以3+loga2≥4，解得1

點評例題2考查分段函數的值域問題，是一個需要逆向思維的問題,分段函數的問題需要分段討論,其中每個范圍中得到的解集必須是相應范圍的子集,最終答案應該是各個范圍下解的集合的并集,此類題目題型傳統,解答方法單一,屬于中檔題目.