對(duì)高考真題中分段函數(shù)考查的分類(lèi)解析

王海平

(廣東省惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 516057)

在高中數(shù)學(xué)考試大綱中，對(duì)分段函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)有如下要求:(1)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念. (2)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).(3)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用. (4)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.(5)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).對(duì)近年來(lái)的高考試卷分析后，重點(diǎn)有以下三個(gè)考點(diǎn)，

一、求簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的函數(shù)值

分段函數(shù)的求解過(guò)程,常要結(jié)合分段討論和數(shù)形結(jié)合的思想,解題完成后再進(jìn)行代入檢驗(yàn).

A．3 B．6 C．9 D．12

答案:C

解析由已知得f(-2)=1+log24=3.又log212>1，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6.故f(-2)+f(log212)=9，故選C．

答案：C

解析當(dāng)a≥1時(shí),f(a)=2a>1,所以,f(f(a))=2f(a),即a>1符合題意.

二、求分段函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)于函數(shù)的一個(gè)重點(diǎn)考查角度,由于對(duì)分段函數(shù)的單調(diào)性的考查題目設(shè)置角度豐富,涵蓋的知識(shí)點(diǎn)具有多樣性和靈活性,因此相關(guān)的題目也豐富多彩.

答案：C.

A．(-∞，1] B．(0，+∞)

C．(-1，0) D．(-∞，0)

點(diǎn)評(píng)例題一給出了分段函數(shù)的單調(diào)性,要求符合題意的參數(shù)范圍,例題二給出了兩個(gè)函數(shù)值的大小,要求得出自變量的范圍,這類(lèi)型題目都是在考查給定函數(shù)的變化情況,也就是函數(shù)的單調(diào)性,研究分段函數(shù)的單調(diào)性,首先需要確定在不同范圍上各個(gè)初等函數(shù)的變化情況,然后再結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性判斷各段函數(shù)的臨界點(diǎn)需要滿(mǎn)足的約束條件,需要同學(xué)們對(duì)基本初等函數(shù)的研究到位并且具有從局部到整體的解決問(wèn)題的角度.

三、求分段函數(shù)的值域

對(duì)分段函數(shù)的值域的考查可以看作是對(duì)分段函數(shù)單調(diào)性的考查的一個(gè)延伸,是在對(duì)分段函數(shù)的變化情況的研究后對(duì)函數(shù)值的范圍的判斷,常常也需要對(duì)分段函數(shù)的圖象有基本的把握.

①若a=0，則f(x)的最大值為_(kāi)___；

②若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

答案：2,(-∞,-1).

解析求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)從局部到整體,根據(jù)自變量的范圍選擇相應(yīng)的解析式,先確定每個(gè)解析式在相應(yīng)范圍上的最值,再整體比較得出分段函數(shù)的最值.含有參數(shù)的問(wèn)題,還需要有對(duì)圖象進(jìn)行變化的能力.

答案：(1,2]

解析當(dāng)x≤2，故-x+6≥4，要使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇4,+∞)，只需f1(x)=3+logax(x>2)的值域包含于[4,+∞)，故a>1，所以f1(x)>3+loga2，所以3+loga2≥4，解得1

點(diǎn)評(píng)例題2考查分段函數(shù)的值域問(wèn)題，是一個(gè)需要逆向思維的問(wèn)題,分段函數(shù)的問(wèn)題需要分段討論,其中每個(gè)范圍中得到的解集必須是相應(yīng)范圍的子集,最終答案應(yīng)該是各個(gè)范圍下解的集合的并集,此類(lèi)題目題型傳統(tǒng),解答方法單一,屬于中檔題目.