賞析如出一轍的三道高考導數題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

(1)討論函數f(x)的單調性；

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

(1)討論f(x)的單調性；

時隔二年，試題2與試題1如出一轍；時隔九年，試題3與試題1又如出一轍.

②若a-1<1，而a>1，故10.故f(x)在(a-1，1)上單調遞減，在(0，a-1)，(1，+∞)上單調遞增.

③若a-1>1，即a>2，同理可得f(x)在(1，a-1)上單調遞減，在(0，1)，(a-1，+∞)上單調遞增.

令g(x)=x2-ax+1，其判別式Δ=a2-4.

①當|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0.

故f(x)在(0，+∞)上單調遞增.

②當a<-2時，Δ>0，g(x)=0的兩根都小于0.在(0，+∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，+∞)上單調遞增.

故不存在a，使得k=2-a.

①若a≤2，則f′(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時，f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減.

(2)由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2.

由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設x11.

上述試題的第(1)問都是運用分類討論的數學思想求解，第(2)問都是首先運用等價轉化的數學思想探尋求解思路，然后運用構造函數的方法求解.