函數(shù)在極值點(diǎn)處不一定連續(xù)

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

2017年清華大學(xué)能力測(cè)試已于2017年1月14日舉行，試題包括數(shù)學(xué)與物理兩部分，每部分考試時(shí)間均為90分鐘，學(xué)生均在電腦上作答.

數(shù)學(xué)試題是40道選擇題(均為不定項(xiàng)選擇題)，且這40道題的順序?qū)τ诳忌皇枪潭ǖ?由電腦隨機(jī)分配給每位考生).下面的題1是其中的一道：

D．使f(x)連續(xù)的a有3個(gè)取值

眾所周知，函數(shù)在極值點(diǎn)處不一定可導(dǎo).比如，函數(shù)y=|x|在x=0處不可導(dǎo)但是該函數(shù)的極小值點(diǎn).

圖1

下面給出題1的完整解答：

圖2

進(jìn)而可得：當(dāng)a≤-1時(shí)，f(x)是増函數(shù)，沒(méi)有極值；

所以：

使f(x)連續(xù)的a的取值是-1,0,1，所以選項(xiàng)D正確．

筆者還發(fā)現(xiàn)題1與2016年高考北京卷理科第14題(即下面的題2)很相似且解法也相同，這道高考題及其解法是：

①若a=0，則f(x)的最大值為_(kāi)___；

②若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____．

解①2；②(-∞，-1).由(x3-3x)′=3x2-3=0，得x=±1，進(jìn)而可作出函數(shù)y=x3-3x和y=-2x的圖象，如圖3所示．

圖2

①當(dāng)a=0時(shí)，由圖象可得f(x)的最大值為f(-1)=2.

②由圖象可知，當(dāng)a≥-1時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值；當(dāng)a<-1時(shí)，y=-2x在x>a時(shí)無(wú)最大值，且-2a>a3-3a，所以a<-1.