基于數學思想滲透的核心素養提升
——《最基本的圖形：點和線》復習課教學設計

林奕杰

(福建省泉州市廈門外國語學校石獅分校 362799)

一、目標

1.知識與技能

(1)復習并使學生會畫出、會表示直線、射線、線段，理解它們的性質意義，能說出它們的不同；

(2)復習并使學生能說出兩個基本數學事實，會用兩個基本事實進行生活現象的判斷與簡單幾何推理依據；

(3)復習并會利用尺規作圖作一條線段等于已知線段；

(4)會根據要求測量線段、比較線段的大小，理解線段的和差，會根據圖形直觀利用線段的和差求解線段的長；

(5)理解線段中點的意義，掌握數軸上中點公式，兩點間的距離公式，會用它們求解.

2.數學思考

(1)通過對基本圖形及線段和差的觀察形成初步的幾何直觀；

(2)通過觀察、猜想、推理計算過程的書寫，發展合情推理與演繹推理；

(3)滲透分類討論、方程、設而不求、數形結合、整體等數學思想.

3.問題解決

會判斷直線、射線、線段，會根據幾何描述畫相應的圖形，能運用線段的和差、中點公式、距離公式計算，會用兩個數學事實解釋.

4.情感態度

培養學生空間想象能力、抽象思維能力，培養學生對幾何的興趣，提高數學的應用意識.

二、重難點

重點：線段的和差計算；難點：運動中數量的分析.

三、過程

(學生操作1)：在平面內畫任意點P(教師也在黑板上展示).

(設問1)：點是如何表示的？有無大小？數學的‘點’與生活中的‘點’一樣嗎？

(設問2)：過P可以畫幾條直線？射線？線段？

(設問3)：你可以從哪些角度來說明點和線的關系？

【設計意圖】本操作‘大撒網’，從最基本的畫點、表示點入手，再由點過渡到線，起點低，易于學生入手思考從而激發學生的學習興趣.知識層面上復習了點、點的表示、點與線的關系.

(設問3)引導學生從運動和集合兩個方面來思考理解點和線的關系，從一個全新的角度、更高的視角來審視原有的知識，既不會讓學生覺得炒冷飯，又讓學生重新構建了知識.

這三個設問滲透了運動變化、類比、集合、有限與無限等數學思想；關注了幾何直觀和數學抽象等核心素養.

(學生操作2)：在操作1的基礎上把點P向右移動一定距離得點Q，畫直線PQ.

(設問4)：畫直線應注意什么？可以畫幾條直線？直線PQ和直線QP是同一條嗎？這說明了一個什么數學事實？

(設問5)：從學過的直線、射線、線段的知識角度，根據圖你能提出什么新的問題？

【設計意圖】：本操作在操作1的基礎上進一步復習了點的平移，直線、射線、線段的畫法、表示及三者的區別聯系，復習了基本事實“兩點確定一條直線”，滲透了運動變化、類比、分類討論等數學思想.設問5讓學生根據所學知識結合動手操作獲得的圖形自由提問，一方面有利于學生在提取舊知識的同時重新構建新框架、保持思維的開放性，另一方面又化被動為主動，利用學生資源，讓不同水平的學生都可以參與，使課堂不再沉悶，達成“跳一跳摘到果子”的螺旋上升效果，讓學生成為課堂主人，不同的學生都有獲得感，激發他們的數學學習興趣和信心.

(學生操作3)：在操作2的基礎上在直線PQ外任取點M，連接MQ、PM，并測量出線段PQ的長(精確到0.1cm).

(設問6)：比較大小PQ+PM____QM;PQ+QM____PM;PM+QM____PQ.

(設問7)：這說明了哪個數學基本事實？P、Q兩點的距離是多少？能否說線段PQ就是P、Q的距離？

(給出距離的定義，特別注意語言的描述：距離是長度不是圖形)

【設計意圖】本操作從操作1的‘大撒網’開始收縮，從‘形’逐漸過渡到‘數’，旨在復習線段的測量、基本事實“兩點之間線段最短”、兩點間的距離，辨析了‘距離’是個長度數據而非圖形.本操作滲透了數形結合的思想，進一步培養學生數據分析、幾何直觀等素養.操作1到操作3都是在復習基本概念、基本性質、基本事實，屬于基礎知識的重現，用一條線竄起來從不同角度去思考、比較、辨析，又重構了這些知識，從數學思想方面形成新的知識結構.

(學生操作4)：尺規作圖：在操作3的基礎上作線段AB，使得AB=PQ+QM+PM,并在線段AB上取點C.

(設問8)：線段AC、BC、AB滿足什么樣的數量關系？請表示出來.

(設問9)如果AB=10，AC是BC的3倍，求AC.(你有幾種方法？)

(變式1)：如果線段AB=10，C是直線AB上一點，且AC=3BC，求BC.

(變式2)如圖，線段AB上有C、D兩點，點C將AB分成5：7兩部分，點D將線段AB分成5：11兩部分，若CD=15cm，求AB.

(變式3)：如果線段AB=10，C為線段上一點，M、N分別是AC、BC的中點，AC=6，求MN的長.

(變式4)如果線段AB=10，C為線段上一點，M、N分別是AC、BC的中點，求MN的長.

(引導學生用兩種方法求解，滲透設而不求、整體思想)

(分析小結)請注意：已知條件不但包括文字部分提供信息，也包括圖形中提供的直觀信息(比如本題中線段的和差)，要會看圖，用圖；要會用不同的代數式表示同一個量列方程，比如本題中用兩個量表示線段AB的長.

(變式5)：A是數軸上表示-3的點.

①如果A向右移動10個單位得B，則B所表示的數為____，C為AB中點，則C所表示的數為____；

②如果A向右以2個單位/秒的速度運動得B，t秒后B所表示的數為____(用含t的代數式表示)，C為AB中點，C所表示的數為____(用含t的代數式表示).

B點表示的數為7，C點從原點出發，以3個單位/秒的速度向右運動，同時，B點以1個單位/秒的速度向右運動，運動時間為t秒，t為多少秒時，A、B、C三點中，一點是另外兩點的中點？

【設計意圖】本操作是本節知識考試的熱點和難點，是本節課升華與高潮部分.在前面三個操作復習了點、線基本概念、基本事實的基礎上，復習了線段的和、差、倍、分及中點的計算，涉及到了合情推理和演繹推理.本操作通過五個變式，結合點在數軸上的運動，從數字到字母、由靜止到運動、從單一到多樣，層層推進、螺旋上升，揭示了知識間的內在聯系，通過一題多解、多解歸一，探究了解決此類問題的一般方法，形成知識模塊，即照顧了一般同學的水平讓他們有所發展，又照顧了學有余力同學提升能力的需要，進一步培養了學生分析問題、解決問題的能力.讓每個同學在最近發展區內有所獲得.本操作滲透了運動變化、分類討論、方程、設而不求、數形結合、整體等數學思想.

【設計小結】本節課是一節復習課，選自華東師大(2012)版七年級上冊第四章的4.5《最基本的圖形——點和線》.第四章《圖形的初步認識》是以發展學生的空間觀念和幾何直觀為核心的，“點和線”這一節，是讓學生在小學的學習基礎上，對幾何圖形最基本的元素有進一步的認識.點和線是最基本的圖形，小學已學過相關的知識，這些概念來源于客觀實際，是對客觀物體的抽象，初中再來學習，特別是作為一節復習課，就要挖掘本課內容所隱含的運動變化、分類討論、方程、設而不求、數形結合、整體等數學思想，利用本節豐富的數學思想進一步培養學生的幾何直觀、推理計算、合情推理與演繹推理等數學數學素養.

對于初一的學生而言，本節課的知識零散，涉及的數學思想繁多、數學推理抽象.華羅庚先生說：“把厚書讀薄，把薄書讀厚.”又說：生書熟講，熟書生溫.前者說的是理念，后者講的是方法.復習課如何做到讓‘熟書生溫’，筆者思考那就要從另外的‘新途徑’把‘舊知識’竄起來.所以知識層面上筆者用一條線：‘畫點、表示點——點到線——畫線、表示線——點和線的基本事實——線段的計算’把這部分知識技能重新組織起來，從不同的角度讓學生感受到‘新’意；在數學素養方面，筆者深入挖掘本節所涉及的數學思想，通過滲透數學思想來提升知識境界，讓學生有‘新視野’達成提升學生數學素養的目標；在教學方法層面上，筆者采用變式教學，層層設問，開放編題，螺旋上升，讓更多的學生參與，使學生的思考是主動而非被動、多樣而非有限，思維是開放而非封閉、積極而非懈怠；讓學生達成自我發展.