無言的結局

張小漁

(江蘇省蘇州國際外語學校 215000)

代數題，在求解時有的比較繁瑣、有的比較困難.如果我們換一種思路，通過挖掘其隱含的幾何背景，構造出符合題意的幾何圖形，解答往往極其簡單、直觀.請看以下幾例.

圖1

圖2

分析本題從解不等式的角度，必須經過兩次運算推理，繁瑣是免不了的.若能把根式反映成直角三角形的斜邊的長，本題的三個二次根式就轉化為三角形三邊長，也就不難求證了.

圖3

例3已知方程x2-px+rs=0(p、r、s都是正實數)，且p2-4rs≥0，試用幾何方法求方程的根.

分析要求方程的兩根，由于兩根之積為rs反映成幾何圖形就是圓中的切割線定理或相交弦定理，那么如何構造兩根之和呢？如果借助兩線段和及中點坐標公式問題就迎刃而解了.

評注本題從一個全新的角度讓我們認識一元二次方程的根，只要制作精度較高的直角坐標系，對于x2-px+rs=0的方程，當其中的p2-4rs≥0,且p>0,r>0,s>0，根據p、r、s的讀數，也就相應得到方程兩個根的近似值的讀數.

本題的求解讓我們學到如何處理兩數和與積的構圖方法.

著名的勾股定理的證明方法多達300余種，大多數是利用構造圖形來證明的.下面我們一起欣賞一下美國第十二屆總統加菲爾德的證明.

圖4

例4如圖4,構造兩個全等的矩形顯然有：

綜合得a2+b2=c2.

人們戲稱，美國總統踢倒一塊磚頭便證明了勾股定理.