《簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計(jì)

肖奮勇

摘 要半角公式推導(dǎo)過程中主要是將二倍角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單角的三角函數(shù)值，教學(xué)過程主要是引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)觀察余弦的二倍角公式，掌握角的倍、半間關(guān)系，不斷培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、靈活運(yùn)用能力；和差化積、積化和差公式的推導(dǎo)，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)，聯(lián)系兩角和（差）的正弦公式，重點(diǎn)突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等。

關(guān)鍵詞化歸、換元、方程、逆向使用公式

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）08-0176-01

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。

2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力。

3.通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，推導(dǎo)半角公式、積化和差、和差化積公式。

教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。

三、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)公式：

公式變形：

2.例1：試以 表示

【設(shè)計(jì)意圖】在熟練掌握倍角公式的基礎(chǔ)上，理解角的倍、半間的相對(duì)性，提高學(xué)生的公式變換能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程思想、換元思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【師生活動(dòng)】教師——出示問題，讓學(xué)生自主探究，教師重在引導(dǎo)學(xué)生分析角的倍、半間的關(guān)系。并注意從一般思路引導(dǎo)：要用一個(gè)表示另一個(gè)，如果能找到它們之間的一個(gè)關(guān)系式，那么根據(jù)方程思想，問題差不多就可以得到解決了。

總結(jié)：掌握各個(gè)公式的推導(dǎo)過程，是理解和運(yùn)用公式的首要環(huán)節(jié)，熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行升冪和降冪。

3.思考：（1）已知 ，如何求

（2）代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢？

【設(shè)計(jì)意圖】思考：（1）重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的靈活運(yùn)用公式的能力，從而引入半角公式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角公式的進(jìn)一步理解；（2）主要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類的差異”對(duì)三角變換的影響進(jìn)行認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點(diǎn)。

4.例2：求證

（1） ；

（2） 。

【設(shè)計(jì)意圖】本例引出的和差化積和積化和差公式，有其結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點(diǎn)，反映了角 的三角函數(shù)與角 的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。另外，兩式之間又反映了由角 建立的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換即映射反演的思想方法。

（五）變式訓(xùn)練：已知

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固三角公式，掌握運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變形的常用方法，提高學(xué)生的綜合解題能力。

【師生活動(dòng)】師生——學(xué)生自主探究，教師根據(jù)巡視情況指定具有典型思路的學(xué)生上黑板板書。教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，總結(jié)解題方法。

總結(jié)：證明條件三角恒等式要注意觀察條件和所要證的等式中角、三角函數(shù)名稱、運(yùn)算等方面的關(guān)系。方法一可用代入法把 ，再把 ；方法二中可利用恒等式 消去條件中 的方法，即消元法，這是三角變換中常用的方法。

6.課堂小結(jié)

【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，把學(xué)習(xí)的三角恒等變換知識(shí)進(jìn)一步歸類，使知識(shí)系統(tǒng)化，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析問題的能力。

【師生活動(dòng)】師生——總結(jié)本節(jié)涉及的思路和方法：

（1）三角函數(shù)式的化簡常用方法：

①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；

②化切為弦，異名化同名；

③三角公式的逆用等。

（2）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”。

（七）布置作業(yè)：

四、板書設(shè)計(jì)

簡單的三角恒等變換