“算術平方根”概念的探究式教學設計

一、問題提出

“算術平方根”作為初中數學的難點內容之一，其之所以成為難點有諸多原因。其根本原因在于，學生學習“算術平方根”時很難在心理上建立起新舊概念間有效的認知結構，不能夠順利地使得新概念成為其內部知識網絡的一部分[1]。

人教版數學教科書從已知正方形的面積（均為完全平方數）出發，開門見山地給出“算術平方根”的定義。查閱有關“算術平方根”的教學設計[2]，有其各自特點，但卻沒有較好地關注到學生學習“算術平方根”新概念已經具備的經驗或知識。

二、教學策略分析

在學習新知識之前，學生頭腦中一定要具備與之有關的準備知識或經驗，它們是支撐新知識形成的依托。如果新知識與學生的準備知識或經驗可以建立緊密的聯系，學生就可以利用自己的準備知識或經驗“同化”新知識，新知識被吸收進來并把其整合到自己原有的認知結構中去，從而實現對新知識的理解。

那么，學生學習新概念“算術平方根”之前，已經具備了哪些與此有關的舊知呢？

（1）學生會求一個數的平方，或已知正方形邊長，會求其面積;

（2）學生具有逆運算的概念，能夠利用逆運算概念求形如1，4，9，……這樣的完全平方數的算術平方根（盡管學生不知曉“算術平方根”這個名稱）;

（3）學生具備初步的數形結合觀念，能夠從“形”的視角畫出或制作出面積為2的正方形，能夠從“數”的視角算出面積為2的正方形邊長的近似值。

以上既是學生建立新概念“算術平方根”的重要舊知，也是教學新知的關鍵起點。

三、教學目標設計

知識與技能：理解算術平方根的概念，會求一個正數的算術平方根。

過程與方法：通過經歷“算術平方根”概念的形成過程，感悟數形結合、歸納、類比、數學抽象等數學數學方法在“算術平方根”概念學習中的重要作用。

情感態度與價值觀：通過“算術平方根”概念的形成過程，激發學習新知的好奇心，體驗獲得新知的成就感，感悟數學的自然性與和諧性。

重點：“算術平方根”的概念形成過程。

難點：“算術平方根”的概念的理解。

四、教學過程設計

（一）復習引入，類比探究

問題1：學校要舉行美術作品比賽，小明要用邊長為1分米的畫布作畫，那這塊畫布的面積是多少平方分米？邊長變為1dm、3dm、4dm、6dm、3/4dm時，面積又分別是多少呢？并填寫下表1。

問題2：小明要做一個面積為1的正方形畫布，它的邊長是多少呢？要做一個面積為4、9、16或36的畫布呢？

【設計意圖】通過這兩個問題使學生認識到平方運算和開平方運算互為逆運算，為算術平方根概念的探究拉開序幕。

（二）巧設問題，引發認知沖突

問題3：已知正方形的面積，求邊長X。

思考：問題2與問題3都是已知正方形的面積，求它們的邊長的問題，為什么問題2同學們會求解，問題3又不會了呢？

活動1：既然我們不會求面積S=2的正方形邊長X=？，那么我們能不能先解決一個簡單的問題：在2×2（單位為分米）的方格紙中折出面積為2平方分米的正方形呢？

每個單元格的面積是，每半個方格的面積是。4個這樣的半個方格組合到一起就可以拼成一個面積為的正方形。得出如圖1中的正方形。

【設計意圖】學生已有的舊知不能解決問題3，故先解決在方格紙中簡單問題。讓學生從形的角度認識到面積為2的正方形客觀存在，從而其邊長也客觀存在，從而為后續近似計算奠定基礎。

活動2：既然我們已經制作出了這個面積為正方形，那么同學們能不能用尺子量一量它的邊長X等于多少呢？

學生經過測量，并匯報測量結果：有許多不同的答案。

思考：為什么大家的測量結果各不相同呢？

（三）近似計算、建構概念

活動3：既然測量的結果不準確，存在誤差。有沒有其他方法更精確地算出邊長x的值呢？請大家拿出計算器，估算這個邊長X=？

剛才通過測量已經發現邊長X約等于1.4，我們就從1.4開始算起。

第一個環節：利用“無限逼近”的數學思想來估算這個X的值。

（1）因為，所以;確定了這個X的個位數是1，十分位是4，也就是說這個數是，1與2之間的數有很多。能否把X更加精確一些。

（2）因為，所以的取值范圍，確定了這個X的百分位是1，也就是說這個數是。

（3）因為，所以;確定了這個X的千分位是4，也就是說這個數是。

因為，所以;確定這個X的萬分位是2，也就是說這個數是。

小結：可以用這種估算的方法一直算下去，發現是一個無限不循環小數，即使一輩子只做這一件事，也不能精確地算出這個數。

【設計意圖】通過引導學生利用計算器近似計算面積為2的正方形的邊長的活動，使學生發現其邊長是一個無限不循環小數，從而使得新概念“算術平方根”的形成水到渠成。

第二個環節：自己創造符合已知條件的符號表示X。

活動4：面積為2的正方形的邊長是客觀存在的，但是它又是一個無限不循環小數，所以自然需要創造一個新的符號，把這個數x表示出來。請大家思考這個數x是由哪些已知數唯一確定的？如何據此創造符合條件的數學符號表示x呢？

預設：顯然X2=2，表明x是由冪2和次數2唯一確定，所以創造表示x的數學符號應當隱含這兩個已知數據。

學生分組活動，構造符合條件的符號表示X，并匯報……

【設計意圖】通過讓學生構造符合條件的數學符號表示面積為2的正方形的邊長，使其經歷“算術平方根”符號語言的“再創造”過程，從而達到激發其好奇心，培養其想象力和創造力的目的。

第三個環節：引入算術平方根定義

如果一個正數X的平方等于a，即X2=a，那么這個正數X叫做a的算術平方根，a的算術平方根記為 ，讀作“根號a”，a叫做被開方數。

規定：0的算術平方根是0。

（四）講解例題，布置作業

例1：求下列各數的算術平方根.

作業：請計算和的近似值。

結語

本節課以問題串的形式展開，通過若干組問題，使學生進入“不憤不啟，不悱不發”的狀態，深刻認識到引入新概念的必要性，使得新概念的生成過程自然流暢。

參考文獻

[1]李洪兵.基于核心素養的概念教學策略——以“算術平方根”的教學為例[J].中學數學，2017（24）：69-71.

[2]楊彬.回到定義去——談談“算術平方根”的例題教學[J].初中數學教與學，2015（04）：28-29.

作者簡介

杜璞（1994—），女，漢族，籍貫：江蘇，新疆師范大學2017級數學課程與教學論學術碩士研究生，研究方向：課程與教學論。