基于灰度預測的無刷直流電機控制*

尤 磊， 王 勇， 吳敬玉， 劉忠國， 周承豫， 喬永亮

(1.上海航天控制技術研究所·上海·201109； 2.上海慣性工程技術研究中心·上海·201109)

0 引 言

PID控制器因為其結構簡單、成本較低、在簡單系統中控制效果良好等優點，在工程實踐中的應用十分廣泛。但是，PID需要調節3個參數，即使應用較多的PI控制器也需要調節2個參數，其參數間的耦合關系較為復雜。目前，仍未有較為系統的參數調節方法。同時，確定的PID參數對于非線性、時延、負載變化的系統，在多數情況下無法實現理想的控制效果。飛輪使用的無刷直流電機，是典型的非線性、強耦合系統。為達到良好的控制效果，需要自適應調節的PID控制器，以實現較好的控制效果。

文獻[1]將灰度模型G(1，2)與徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)神經網絡控制結合起來，實現了小型無刷直流電機的智能控制；文獻[2]和文獻[3]使用灰度模型G(0，N)，將無刷直流電機模型分為確定部分和非確定部分，并設計為灰色模型，建立了參數在線調整的控制器，有效補償了電機受到的干擾及非確定模型。由于采用了多輸入方式，上述幾種方法的實現較為困難；不使用電機雙閉環控制中的電流環控制器，將導致電流無法快速響應指令，控制效果不佳。

本文建立了基于灰度模型G(1，1)的轉速控制器，用于無刷直流電機的轉速控制，電流環控制仍然使用了傳統的PI控制器。由灰度模型預測電機在下一采樣時刻的轉速，建立預測誤差值同PID參數間的變化關系，在線調整PID參數，以達到更加快速、穩定地跟蹤預期轉速指令的目的。

1 無刷直流電機模型

在飛輪中應用最多的是按Y形連接的三相無刷直流電動機。在無中線、忽略管壓降的情況下，三相繞組的電勢平衡方程為[4]

(1)

(2)

在式(2)中，LA、LB、LC為定子三相繞組自感；MAB、MBA、MAC、MCA、MBC、MCB為定子三相繞組間的互感。

假設三相繞組對稱，不計磁路飽和的影響，則電子繞組電感(自感和互感)不隨定子電流及轉子位置而發生變化，即有

RA=RB=RC=Ra

(3)

LA=LB=LC=L

(4)

MAB=MBA=MAC=MCA=MBC=MCB=M

(5)

用Ra(a代表A、B或C)、L、M分別表示定子繞組的相電阻、相電感、相間互感，將式(2)代入式(1)并寫為矩陣形式，可得

(6)

飛輪中的電機三相繞組為Y形無中線聯結，則有

iA+iB+iC=0

(7)

因此

MiB+MiC=-MiA

(8)

將式(6)整理為

(9)

由于在實際應用中，習慣采用電動機線電壓方程式，由式(9)可得

(10)

在式(10)中，eAB=eA-eB；eBC=eB-eC；eCA=eC-eA。

其中，各相繞組反電動勢的幅值為

(11)

ea=KEω

(12)

產生的電磁轉矩為

(13)

電機動力學模型為[5]

(14)

其中，Tl為負載轉矩，B為阻尼系數。

2 灰度預測模型

灰度模型的常用符號為G(M，N)。其中，N表示變量個數，M表示常微分方程的階數。在本文中，使用灰度模型G(1，1)預測無刷直流電機的轉速。G(1，1)模型為1個輸入變量的一階灰度模型。由于其只有1個輸入，因此結構較為簡單，無需大量運算過程，采用一階差分方式，利用較少的數據就可以得到較為準確的預測電機轉速。

以下為建立轉速灰度預測模型的過程：

(1)建立初始轉速序列

ω(0)=[ω(0)(1)ω(0)(2) …ω(0)(n)]

(15)

在式(15)中，n為采集轉速個數。該序列表示電機的實測轉速值，用于預測下一時刻的轉速，該序列最少需要4個數據[6]。所采集的數據越多，需要的計算量越大，相應的結果也越精確。在飛輪控制中，采用FPGA作為控制處理器。其資源有限，無法進行數量較多的灰度預測算法，因此選擇4個數據對未來轉速進行預測，即n=4。

(2)建立數據累加序列

ω(1)=AGO(ω(0))
=[ω(1)(1)ω(1)(2) …ω(1)(n)]

(16)

在式(16)中，ω(1)(k)表示數列ω(0)對應的前k項數據的累加，即

(17)

通過數據累加對測量轉速的噪聲進行簡單的降噪處理，以加強數據的規律顯現。

(3)建立背景值序列

k的取值為：k=2,3,…n

(18)

計算累加序列的平均值，防止原始序列自身存在突變的奇異數據而干擾模型，運用背景序列平滑這一階躍特性。

(4)灰度差分方程

G(1，1)的一階線性微分方程為

(19)

根據導數與差分的數學思想，可得

ω(0)(k)+az(1)(k)=b,k=2,3,…n

(20)

令

ω=[ω(0)(2)ω(0)(3) …ω(0)(n)]T

(21)

v=[ab]T

(22)

(23)

式(23)可寫為ω=Bv，利用最小二乘法求解可得

(24)

(5)求解預測模型

求解式(19)，可得在第k+1時刻預測轉速的累加值為[7]

(25)

則k+1時刻的預測轉速值為

(26)

3 灰度預測控制器

參數調節器的具體調整步驟如下

(1)計算預測誤差函數

(27)

(2)定義預測精度函數

(28)

(3)PID輸出控制信號

(29)

在式(29)中，eP、eI、eD分別為增益誤差函數、積分誤差函數，以及微分誤差函數。

(30)

(31)

(32)

(4)采用梯度下降法求解參數

(33)

(34)

(35)

將式(27)、 式(28)、 式(29)代入式(33)、式(34)、式(35)，可得

(36)

(37)

(38)

(5)更新PID中的3個參數

(39)

(40)

(41)

圖1 基于灰度預測控制器的電機控制Fig.1 The control of BLDC motor based on Pray Prediction Controller

該控制器用預測誤差代替實際誤差，對傳統PID中的3個控制參數提前進行了調整，應用梯度下降法使預測轉速與理論轉速的誤差在最短時間內達到了最小值，從而求出了在每一時刻最合適的PID參數值。將該參數值應用于實際系統中，可使系統快速、穩定地達到預期狀態。

4 仿真分析

在圖1所示結構圖中，針對電流控制器，仍然使用傳統PI進行控制；PI控制器輸出控制電壓Vc，并在控制器內增加限幅，使得最大控制電壓為Vcm；將Vc輸入到逆變器中，通過整流作用，輸出電機的相電壓ua(a代表A、B、C)。作為具有時間滯后效應的增益環節，逆變器的模型如下

Kr·e-Tr

(42)

在式(42)中，

(43)

在式(43)中，Vdc為逆變器輸入的直流母線線電壓；fc為逆變器的開關(載波)頻率。

由于在工程應用中，電機控制采用離散化方法，因此在仿真過程中，需對上述模型及控制律進行離散化處理。

仿真所使用的電機的參數如下：

逆變器輸入的直流母線電壓：Vdc=28V。

最大控制電壓：Vcm=42V。

逆變器開關(載波)頻率：4kHz。

電機三相電阻：Ra=0.3Ω。

電機三相電感：L=0.06mH。

忽略電機三相間互感，即M≈0mH。

電機轉動慣量：J=0.088kg·m2。

電機電磁轉矩系數：KT=0.38。

電機反電勢系數：Ke=0.04。

圖2為當電機給定轉速為3000r/min時，電機轉速從0r/min達到指定轉速的2種控制器的表現；表1為2種控制器的具體性能指標。

圖2 2種控制器控制效果的對比Fig.2 The contrast between two controllers

超調量穩態誤差上升時間/s調節時間/s灰度預測控制器000.0490.049PID控制器9.7%00.0310.11

從圖2和表1可以明顯看出，灰度預測控制器比PID控制器能夠更快、超調更小地達到轉速理論值，實現對電機的智能控制。

圖3為PID參數隨預測轉速的變化值。

(a)比例增益Kp的變化曲線

(b)積分增益KI的變化曲線

(c)微分增益KD的變化曲線圖3 預測下的灰度預測控制器的參數變化Fig.3 The variety of parameters based on Gray Prediction Controller

為驗證灰度預測下的電機抗干擾能力，在1s處對電機施加0.1N·m的干擾力矩。圖4所示為在存在外力矩干擾下的電機的調節情況。從圖4可知，灰度預測控制器受干擾后的偏差值為1.8%，PID控制器的偏差值同樣為1.8%；但是，灰度預測控制器在0.079s后重新恢復穩定，而PID控制器則需要0.167s才可恢復穩定。因此可知，運用灰度預測控制器的系統抗干擾能力更強。圖5所示為在干擾情況下灰度預測控制器的參數變化。

圖4 負載干擾下的控制效果對比圖Fig.4 The contrast between two controllers under loading

(a)比例增益Kp的變化曲線

(b)積分增益KI的變化曲線

(c)微分增益KD的變化曲線圖5 負載干擾下灰度預測控制器的參數變化Fig.5 The variety of parameters under loading based on Gray Prediction Controller

5 結 論

本文設計了參數可調節的灰度預測控制器。該控制器將灰度預測模型G(1，1)和梯度下降法進行了結合，以求解PID的參數變化。灰度預測模型將下一采樣時刻的轉速較為準確地預測出來，通過梯度下降法尋找參數變化的規律，對任意給定的正實數參數均可實現快速響應的效果。

由仿真結果可知，相較于傳統PID控制器，灰度預測控制器實現了無超調控制，調節時間減少了55.5%。同時，穩態誤差為0，即準確地跟蹤了轉速指令。由此驗證，用4個數據進行預測，可快速、平滑且準確地控制電機轉速。對于外部突加干擾，灰度預測控制器可以更加快速地消除系統所受到的干擾。相對于傳統PID控制器，其穩定性更強。由此，驗證了該方法的有效性。