基于預設性能控制的超緊密航天器編隊防避撞協同控制*

黃 靜，孫祿君，孫 俊，劉 剛

(1. 上海航天控制技術研究所·上海·201109； 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室·上海·201109)

0 引 言

航天器編隊飛行因其結構靈活、功能強大、可靠性高、生命周期長及發射風險低等優點，已經成為了航天控制領域近年來研究的熱點[1-2]。在航天器編隊飛行中，多個航天器之間可形成特定的編隊構型，通過星間的信息交互、相互作用、協同工作，以類似一個虛擬單體航天器的方式來完成空間任務[3-4]。整個編隊系統(如深空干涉儀、合成孔徑雷達等)在執行一些復雜的編隊任務時，不僅要求編隊中的各個航天器達到整個編隊對軌道、姿態的要求(如絕對期望姿態、軌道)，同時要求各航天器間的相對姿態、相對位置滿足一定的約束，以達到指定的一致性要求(如構型不變、姿態一致、波束同步等)。由此，便涉及到了分布式系統的協同控制問題。

與單個航天器任務相比，航天器編隊飛行面臨的挑戰是在維持固定的航天器相對距離的同時，保持精確的姿態協同。以由主-從結構編隊組成的分布式雷達天線為例。為了實現高分辨率的觀測[5]，天線陣面邊緣之間的距離必須保持在1m之內。同時，航天器之間相對位置和姿態的精度應分別控制在1mm和0.1°之內。對于這種超近距離、高精度的航天器編隊飛行任務，在航天器編隊的構型建立和保持時，更需要采取控制策略以避免航天器之間的碰撞。另一方面，在保持編隊重構的同時，需要獲得較高的相對位置和相對姿態精度信息。

本文主要研究的是在具有外界干擾和防避撞約束條件下的近地軌道超緊密航天器編隊的構型控制問題，需要考慮航天器編隊的六自由度的協調控制。目前，考慮具有外界干擾和防避撞約束條件下的航天器編隊的構型控制問題，大多數只考慮了對相對位置的控制。Hyo-Sung等[6]針對多智能體編隊的位置協同控制提出了一種歐幾里德距離矩陣方法，以解決距離測量過程中存在的不確定性和擾動的問題。Zhao等[7]將模型預測控制方法應用于主從方式編隊飛行問題，設計了避撞飛行魯棒控制策略。但是，基于優化的模型預測方法計算量較大[8]。Zou等[9]設計了一種終端滑模控制器，以解決航天器編隊協同過程中的外部擾動問題。Bechlioulis等[10]針對非線性多智能體系統，采用預設性能控制研究了一種間接通信協議下含未知非線性和干擾的編隊控制問題，但未考慮防避撞的實際工程需要。針對六自由度的協同控制問題，Xu等[11]針對姿軌耦合六自由度航天器，設計了滑模跟蹤控制算法。Stansbery等[12]采用狀態相關Riccati方程(SDRE)設計了全狀態反饋非線性控制器，以同時實現平動和轉動六自由度控制。呂躍勇等[13]考慮了控制約束條件，設計了一種L2干擾抑制控制方法，解決了含參數不確定和外部干擾的航天器編隊的六自由度協同控制問題。但是，以上研究均未在控制器設計過程中考慮系統的暫態和穩態性能。

預設性能控制(PPC)是當前控制界的研究熱點之一，其優勢在于在保證系統穩定的基本前提下，可同時兼顧系統的暫態和穩態性能。該方法能夠預先設計狀態量的收斂軌跡邊界，而該邊界約束又能夠通過非線性映射函數進行無約束化處理。受文獻[14]啟發，本研究將預設性能控制與Backstepping方法進行了結合，針對柔性航天器編隊這類具有外界擾動的嚴格反饋非線性系統，提出了一種為非線性系統預設性能控制器的設計方法。該方法可根據任務需求，設計各協同狀態量的收斂軌跡邊界，確保系統的暫態和穩態性能可滿足預先設定的要求，同時保證系統具有一定的魯棒干擾抑制性能。

1 數學模型的建立

航天器編隊飛行既包含軌道運動又包含姿態運動，為了準確描述編隊飛行狀態，首先需要定義相關坐標系。常用的基本坐標系定義如下：

地心慣性坐標系(ECI)oixiyizi：坐標系原點為地心，oixi軸沿地球赤道平面與太陽黃道平面的交線指向春分點，oizi軸沿地球自轉軸指向北極，oiyi軸則與oixi軸、oizi軸構成右手正交坐標系。

主航天器參考坐標系(LVLH)olxlylzl：坐標系原點為主航天器質心。olxl軸、olyl軸和olzl軸構成右手正交坐標系并固連在航天器上，定義Rl為主航天器在地心慣性坐標系ECI中的位置矢量；olyl軸沿Rl方向指向外，olzl軸指向平行于主航天器軌道法向量方向。

1.1 編隊航天器相對位置數學模型

為了推導編隊飛行航天器相對位置的動力學方程，首先給出主航天器和從航天器的軌道動力學方程

(1)

(2)

式(2)中，Rr為從航天器相對于主航天器的相對位置矢量；ml和mf分別表示主航天器和從航天器的質量；dl和dff分別表示作用在主航天器和從航天器上的外力干擾；Fl和Ff分別表示作用在主航天器和從航天器上的控制力；μ為重力常數。聯立式(1)和式(2)，可得編隊航天器相對位置的動力學方程

(3)

式(3)中，dt?dff-mf/mldl，Ft=Ff-mf/mlFl。需要注意的是，式(3)中的相對矢量Rr是定義在地心慣性坐標系ECI下的。為了便于航天器編隊的隊形控制，需要將Rr在主航天器參考系 LVLH下進行定義，并對相對位置動力學方程(3)進行進一步推導整理。

(4)

(5)

式(5)中，科里奧利矩陣Ct(ωo)的定義為

(6)

非線性項Nt(Rr,ω,Rl)的定義為

(7)

在主-從結構編隊進行相對位置控制時，一般均假設將主航天器進行理想控制，即假設軌道控制力恰好可抵消外來干擾力的作用，即有Fl=dl成立。此時，式(5)可改寫為

(8)

至此，式(8)給出了完整的編隊航天器相對位置的非線性動力學方程。需要說明的是，在式(8)中，從航天器的軌道控制力充當了相對位置控制力，這意味著在主-從結構下航天器編隊控制將完全由從航天器完成，而主航天器主要為從航天器做參考基準并提供參考軌跡。

1.2 編隊航天器相對姿態數學模型

首先，給出相對姿態四元數和相對姿態角速度的定義

(9)

ωr?ωf-Cωl

(10)

(11)

本文給出在如式(9)和式(10)所示的相對姿態定義的條件下，編隊航天器的相對姿態運動學方程為

(12)

定義Jl和Jf分別為主航天器和從航天器的轉動慣量，在式(10)兩端同時乘以Jf，根據主航天器和從航天器的姿態動力學方程，經過推導可以得到

(13)

式(13)中，dll和duf分別表示作用在主航天器和從航天器上的外部干擾力矩。在主-從結構中，一般情況下均假設主航天器處于理想控制下的自由漂浮狀態，即主航天器的控制力矩ul能夠完美抵消外部干擾dll的影響，即有ul=-dll成立。因此，式(13)可進一步改寫為

(14)

經過化簡，可以得到

(15)

方程(15)便是編隊航天器相對姿態動力學方程。至此，編隊航天器的相對姿態運動學方程(12)和相對姿態動力學方程(15)構成了主-從編隊相對姿態運動的完整數學模型，為下文的控制器設計奠定了基礎。

1.3 研究目標

假設主航天器處于理想控制條件下，將針對主-從編隊航天器的相對位置動力學方程(8)及相對姿態動力學系統(12)、(15)，考慮防避撞的約束和通信距離的限制條件，即有

LL≤L(t)≤LU

(16)

2 預設性能魯棒控制器設計

2.1 編隊航天器相對運動數學模型轉換

由于預設性能函數直接作用于狀態變量，通過設計收斂軌跡邊界可保證系統暫態和穩態性能滿足預先設定的要求。為了保證系統滿足防避撞的狀態約束要求，需要在設計控制器之前，將相對位置狀態變量轉換為與航天器之間距離相關的量。在此，選擇將原動力學方程(8)中關于z的動力學方程改寫為關于L的動力學方程，根據

(17)

對L相對于時間求二階導數，得到

(18)

根據式(8)，定義新的矢量RL?[xyL]T，可以得到新的相對位置動力學模型

(19)

式(19)中，

(20)

式(20)中，

2.2 誤差模型轉換

首先考慮指數收斂速度和穩態誤差邊界。本文選取如下函數作為預設性能函數

ρi(t)=(ρi0-ρi∞)e-lit+ρi∞

(21)

式(21)中，ρi0、ρi∞、li為預先設定的正常數。ρi(t)函數的變化曲線如圖1所示。ρi0為預設性能函數的初值，在選取時要求其大于狀態量范數的初值；ρi∞為預設性能函數的終值，能夠保證狀態量最終收斂于穩定域ρi∞中，在選取時要求根據實際工程的精度需求進行選取(ρi∞并不是越小越好，過高的精度要求會造成控制輸入過大)；li為誤差收斂速度，能夠保證系統狀態至少以指數速度收斂，在選取時應當考慮實際系統的執行能力。

圖1 預設性能函數變化曲線Fig.1 Schematic representation of prescribed performance function

定義

(22)

(23)

式(23)中，βi∈[0,1]為設計參數，是為防止狀態量超調而定義的常量，最大超調量小于等于βiρi0。另外，在式(23)中，假設0<|e1i(0)|<ρi0成立，通過選擇合適的ρi0、ρi∞、li，可以保證系統的穩態誤差收斂到一個預先設定的區域內，即保證其最大超調量和收斂速度滿足預先設定的要求。

為了易于實現本文的控制目標，將式(23)所示的不等式約束轉換為等式約束的形式。引入如下形式的誤差變換

e1i(t)=ρi(t)Ni(zi),i=1,…,6

(24)

(25)

選取具有如下形式的Ni(zi)

(26)

可以求得

(27)

(28)

根據式(28)，建立原系統(20)的等效系統模型

(29)

2.3 控制器設計

在空間攝動等外界因素的干擾下，為保證相對位置、相對姿態精度達到要求，本研究將預設性能與魯棒控制相結合，利用Backstepping控制器設計方法，設計系統(29)的預設性能魯棒控制器。首先給出系統具有魯棒H∞干擾抑制性能的定義。

定義對于系統(29)，若存在控制律u和Lyapunov函數V，且從干擾d到控制輸出y的L2增益小于一個給定的正常數γ，即

(30)

式(30)中，T>0，則稱該系統內部穩定，且具有魯棒H∞干擾抑制性能。

基于Backstepping技術逐步對預設性能魯棒控制器進行設計，過程如下。

定義虛擬狀態變量ξ1、ξ2

ξ1=z
ξ2=e2-α1

(31)

式(31)中，α1為中間虛擬控制量。

考慮第一個子系統，選擇如下形式的Lyapunov函數

(32)

對其求導可得

(33)

可暫時忽略ξ2，等待下一步對其進行處理。此處僅需設計虛擬控制α1以鎮定ξ1，則可設計α1為

(34)

K1為正定矩陣，則有

(35)

進一步，設計實際控制器u，選擇子Lyapunov函數為

(36)

定義

(37)

將式(36)求導并代入(37)，可得

(38)

為了鎮定z1和z2，則可設計實際控制器u為

(39)

將式(39)代入式(38)，此時有

(40)

V=2V2

(41)

計算得到

(42)

因為H<0，所以

(43)

式(43)表明，基于Backstepping方法構造Lyapunov函數推導出的魯棒控制律(39)，使得誤差系統(29)對于所有有界干擾是內部穩定的，即從外部擾動到輸出具有小于γ的L2增益。

綜上，對于誤差模型(29)采用控制律(34)和(39)，可以保證閉環系統中的所有誤差信號z、e2有界，進而保證轉化誤差z滿足預先設定的暫態、穩態性能要求。根據Ni-1(zi)的存在性，不難證明原系統(29)中所有的信號有界，同時其跟蹤誤差滿足預先設定的要求。

最終，得到如下定理：

3 仿真分析

本節在MATLAB/SIMULINK環境下進行數值仿真試驗，驗證本文所提出的預設性能魯棒控制算法的有效性。

超緊密航天器的初始姿態和軌道參數仿真條件如表1所示。為了實現分布式雷達天線的觀測任務，控制目標是天線陣面邊緣之間的距離保持在1m以內，并保證10-3m的相對位置精度。

表1 系統仿真參數

在實際情況中，此類超緊密航天器在近地軌道附近受到的光壓力、氣動阻力等的干擾力幅值不超過10-4N，受到的太陽光壓力矩、剩磁力矩、氣動力矩干擾的力矩幅值一般也不超過10-4Nm。因此，外部干擾的上限可設為10-4N和10-4Nm。

考慮控制精度和防避撞的狀態約束條件，根據預設性能參數的設計經驗，經多次試驗，控制參數的選取結果如表2所示。仿真時間為800s，仿真結果如圖2～圖7所示。

表2 控制器參數

圖2 相對姿態四元數變化曲線Fig.2 Trajectories of relative quaternions

圖3 相對角速度變化曲線Fig.3 Trajectories of relative angular velocity

圖4 相對位置變化曲線Fig.4 Trajectories of relative position

圖5 相對速度變化曲線Fig.5 Trajectories of relative velocity

圖6 控制力矩變化曲線Fig.6 Trajectories of applied torques

圖2表示兩星相對姿態四元數隨時間的變化曲線，虛線表示設計的相對姿態四元數預設性能函數曲線(PP)。可以看出，相對姿態都保持在預設性能函數范圍內。圖3表示兩星相對角速度變化曲線。從圖2和圖3可以看出，兩星在400s左右建立了期望相對姿態，并在之后高精度保持了此相對姿態，相對姿態四元數精度達到了3×10-4，滿足了控制精度的要求。圖4表示兩星相對位置和兩星相對距離隨時間的變化曲線，虛線表示關于兩星相對位置x、y和相對距離L的預設性能函數曲線。圖5表示相對位置速度變化曲線。從圖4和圖5可以看出，兩星也在400s左右建立了期望相對位置，并在之后高精度保持了此相對位置，相對位置精度達到了5×10-4m，滿足了控制精度的要求。從相對位置變化曲線可以看出，所設計的控制器滿足了防避撞的狀態約束要求。

圖6和圖7分別為從星的控制力矩和控制力曲線。可以看出，在構型建立過程中，由于初始時刻誤差較大，導致初始相對姿態控制力矩和相對位置控制力較大，分別達到了0.5Nm和10N左右，構型建立后所需控制力矩和控制力非常小，這主要是為了消除外界干擾的影響。從仿真結果可以看出，在防避撞的狀態約束和外界干擾影響下，設計的預設性能魯棒控制器能保證整個超緊密航天器相對位置和相對位置控制系統的穩態和暫態性能滿足預先設定的要求, 且具有一定的魯棒干擾抑制性能，充分驗證了本文所提出的非線性控制器的有效性。

4 結 論

本文針對考慮具有外界干擾和防避撞約束的近地軌道超緊密航天器構型控制問題，結合反步控制技術、預設性能和魯棒控制方法，基于Lyapunov穩定性理論提出了一種預設性能魯棒控制器設計方法。

(1)提出的控制方法兼顧了系統的暫態和穩態性能，即在保證系統穩態誤差收斂到一個預先設定的指定區域的同時，保證系統在外擾作用下，具有一定的魯棒干擾抑制性能。

(2)不僅滿足了六自由度編隊協同的高精度控制要求，還考慮了防避撞的實際工程需要，根據狀態約束變量將相對位置動力學模型轉換為與距離相關的數學模型，在此基礎上設計了防避撞六自由度編隊協同控制器。仿真結果表明，設計的控制器保證了系統的穩定性，達到了控制要求，具有潛在的應用前景。

(3)在今后的研究中，將在此基礎上，進一步考慮航天器柔性附件的影響，設計更加具有工程意義的控制律。