另辟蹊徑，換角度思考優化解題策略

☉江蘇省海門市第一中學 俞昉昉

數學是一門很靈活的學科，數學的知識點之間自成體系又互相關聯，這給我們解決數學問題帶來了更多選擇，我們不僅可以利用最相關的知識點和最常用的方法來解決問題，有時也可以另辟蹊徑，結合問題特色，轉變思考角度，同樣也能解決問題，甚至可以優化解題策略.北京市特級教師孫維剛也經常在教學過程中向學生強調換角度思考的學習方法，換角度思考的方法經常能夠幫助我們化繁為簡，將未知的、陌生的問題，轉化為已知的、熟悉的問題.事實上，具有換角度思考的意識和能力不僅能幫助學生更好且更快地解決問題，還能讓學生更加熟悉數學知識點之間的聯系，能夠提高學生對數學知識體系的整體掌握程度，能夠幫助學生打開視野.為了樹立學生換角度思考的意識，鍛煉其問題轉化能力，教師要有意識地強調數學知識的體系性，打破學生思維的局限性，除此之外，教師還應該多總結能夠體現換角度思考方法的問題，以教師講解和學生練習的形式讓學生清楚什么是換角度思考以及怎樣更好地選取思考角度.本文中筆者將分類選取一些教學片段和經典例題來和各位讀者分享自己的教學經驗.

一、巧用參數分離，解決不等式求參數問題

不等式求參數問題的一般形式是給出不等式關系，求其中參數的范圍，常見的思路是利用解不等式或者方程的思想來限定參數的范圍，經常需要運用分類討論的思想.在有些情況下，可以利用參數分離的方法來解決.

下題是2011年某省名校聯考的試題：已知函數f（x）=xlnx，（1）試求函數f（x）的最小值；（2）如果對于?x≥1，都有f（x）≥ax-1，試求參數a（a∈R）的取值范圍.

問題分析：由于（1）比較簡單，此處不作詳細分析，對于（2），如果想利用不等式和函數的思想來解決，則需要先移項，構造函數g（x）=f（x）-ax+1，問題轉化為對于?x≥1，都有g（x）≥0，求此時參數a的取值范圍，再利用導數求取g（x）的最小值，求出此時滿足不等式條件的參數的取值范圍，這樣的方法可以解決本題，但此例中還需要對參數a的范圍進行分類討論，較為麻煩.其實，觀察函數原型不難發現，函數的定義域是{x|x>0}，我們可以嘗試換角度思考，不需要對a進行分類討論，而是利用參數分離的方法直接求出其取值范圍.

問題解答：在本題中，不等式（fx）≥ax-1恒成立等價于a≤lnx恒成立，我們只需要求出右邊表達式的最小值就可以算出參數a的取值范圍.構造函數h（x）=lnx+，對其求導可得，h（′x），導函數在討論區間［1，+∞）上恒正，由此可知函數h（x）在區間［1，+∞）上單調遞增，所以可得h（x）min=h（1）=1，為了使不等式恒成立，我們可以得出參數a的取值范圍是（-∞，1］.

類似的例子還有很多，都顯示出了參數分離的強大，再比如2009年浙江高考中有一題：已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中參數k∈R，設函數p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在區間（0，3）上不單調，求參數k的取值范圍.

問題分析：根據導函數的性質，如果函數p（x）在區間（0，3）上不單調，那么其導函數p′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）在區間上有零點，且存在x0，x1∈（0，3），使得p（x0）≥0，p（x1）≤0，等號不同時取到，如果想通過解方程的方式求取參數的范圍，計算過程將會比較繁瑣，我們也可以采用參數分離的方法來求解.

問題解答：由導函數等于零，故可以分離參數，將問題轉化為求在區間（0，3）上的取值范圍，利用換元以及對勾函數的性質，我們可以求得k∈（-5，-2］，又當k=-2時，不存在x0，x1，使得p（x0）·p（x1）＜0，所以舍棄這一值，最終k的取值范圍是k∈（-5，-2）.

二、用函數的思想研究集合

集合是中學數學的重要知識模塊，高考中建立在集合基礎上的考題也很多，在研究集合類題目的時候，我們可以多從函數的角度思考，跳出集合思維的限制.下面是筆者想分享的一段教學實況.

問題情境：若已知兩個集合A，B，A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|x2-ax+2＜0}，且已知A∩B=A，試求參數a的取值范圍.

問題分析：這道題表面上是建立在集合的基礎之上的，實際上是需要學生利用集合關系將其轉化為函數來分析問題，是一道“披著集合皮的函數題”，學生需要能夠跳出集合思維的限制，將集合關系轉化為函數概念，從解決函數問題的角度思考.

教學情境：筆者在給出這道題目之后，讓學生自行思考了一會兒，接著讓其分享自己的思考過程.

學生A：“我先解出了第一個集合中的不等式，它其實等價于A={x|1＜x＜2}，然后根據集合交運算的性質，我知道了集合A是集合B的子集，也就是所有集合A中的元素都在集合B中，然后我就有點不知道怎么做了.”

教師：“很好，要解這道題，我們確實先要從集合的角度來理解條件，但是接下來的求解過程用集合的知識仿佛難以展開，那我們不妨試試轉變角度，用別的知識點來思考，比如，這個集合給出的限定條件是不等式，你們能不能試試看在坐標軸上表示集合A和集合B中的元素的分布情況呢？”

學生B：“我知道了！我們可以把問題轉化為函數的零點問題，因為給出的兩個限定條件都是開口向上的拋物線，我們只需要確保函數f（x）=x2-ax+2的兩個零點x1，x2滿足條件x1≤1，x2≥2，求出此時參數a的取值范圍就可以了.”

教師：“非常棒！用這樣的方式解決這道題會十分輕松，這道題的求解過程可以分成兩個階段，第一個階段是在集合視角下來解讀條件，第二個階段是用函數知識來求解答案，集合的限定條件常常以函數或不等式的形式出現，這提示我們要根據解題目標和問題特點靈活地轉換解題視角，下面就請各位同學嘗試著解決這道題.”

三、化抽象為形象，用數形結合的視角解決函數問題

函數能幫助我們忽視客觀現象的雜蕪，直接揭示蘊于其中的數學關系，大多數時候函數是一個強大且有力的工具，但是有時單純從函數的視角下來研究問題會顯得較為抽象，解決過程也會比較繁瑣，這時候我們不妨借助函數圖像，由形至數，形象直觀地感悟問題，則可能會取得很好的效果.

比如有這樣一道例題：若已知方程y=1與y=x2-|x|+a有四個公共解，求參數a的取值范圍.

問題分析：一般來說，方程的公共解問題可以通過聯立方程組來解決，但是本題中，y=x2-|x|+a不是我們所熟悉的方程類型，故難以求解，這時候我們不妨轉變思考角度，用數形結合的思維來分析這個問題，有序數對（x，y）可以看成是坐標系中的點，方程組的公共解實際上可以等價為曲線的交點，此時問題可以轉化為直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點，作出兩條曲線的難度遠小于求出公共解，再通過分離參數，即可很快地求得結果.

問題解答：問題可以轉化為曲線y=x2-|x|與直線y=1-a有四個交點，如圖1所示作出曲線的圖像.

再比如我們常見的方程零點問題，也可以用數形結合的思維來分析，如下題.

如果關于x的方程x2+（m+2）x+3=0有兩個均大于1的零點，試求參數m（m∈R）的取值范圍.

問題分析：以函數的思想來分析該題，我們需要解出方程的根，但由于方程中含有未知參數，若利用判別式法解題時會出現根號，求解較為繁瑣，因此我們可以嘗試通過參數分離的方法將問題簡化，再利用數形結合的思想來求解該問題.

圖2

問題解答：首先經過移項，我們可以得到方程-（m+2）=x+，再畫出y=x+的圖像（如圖2），觀察函數y=-（m+2）在什么情況下會與曲線有兩個交點，求出此時參數的取值范圍即可，易知參數需滿足2（m+2）＜4，即-6＜m＜-2-2

當然，換角度思考的例子還有很多，筆者在這里只列舉出了幾個較為典型的案例.通過上述例題，我們能夠直觀地感受到換角度思考帶來的便利.教師在日常教學中應有意識地讓學生多接觸這樣的例題，鼓勵學生提出新穎的思考視角，幫助學生保持思維的活躍，讓他們在遇到棘手的問題或者陌生的問題時能夠靈活應變，同時多進行這種轉變思維的練習，能讓學生感受到數學的魅力，激發起學生探索的欲望，拓寬學生的數學視野，提升他們的知識遷移應用能力，這也對其將來的學習有著深遠的積極影響.