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——2018年高考全國Ⅲ卷第22題

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 楊偉波

我國南宋時期杰出的數學家楊輝曾說：“夫學算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設一題.”其實，在教材中所選用的例題、練習題都是經過專家們再三選取、提煉而來的，能幫助我們有效地明晰概念、掌握方法.充分感受教材中所選用的例題、練習題中豐富的內涵，從而達到舉一反三的目的，提高分析問題和解決問題的能力.

一、高考真題

【高考真題】（2018·全國Ⅲ卷文、理·22）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為為參數），過點（0，-）且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點.

（1）求α的取值范圍；

（2）求AB的中點P的軌跡的參數方程.

本題以參數方程與普通方程的互化為問題背景，通過直線與圓的位置關系、中點弦問題來考查化歸與轉化思想、運算求解能力以及數學運算與直觀想象等數學核心素養.其實，本題在教材中有其身影，是在教材習題的背景下加以轉化與拓展而來的.

二、教材背景

這個問題源于普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2—1·A版》（人民教育出版社，2007年2月第2版）第81頁習題2.5A組第4題：

過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

三、官方標答

（1）⊙O的普通方程為x2+y2=1.

（2）方法1：

設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，

點評：第（2）小題中AB的中點P的軌跡的參數方程的求解，借助直線l的參數方程以及參數方程的幾何意義下對應的參數，結合參數方程與普通方程的轉化，采取根與系數的關系，并結合中點坐標公式，通過三角恒等變換的轉化來確定點P的軌跡的參數方程.其實，求解第（2）小題中AB的中點P的軌跡的參數方程時，切入點各異，方法眾多.

四、解幾思維

除了利用參數思維或利用參數方程的幾何意義來處理外，還可以借助問題本質，還原解析幾何背景，通過解析幾何中的直線斜率、勾股定理、圓的方程等不同的破解角度來切入，達到巧妙利用解析幾何思維來處理問題的目的.

（1）方法2：

由題知⊙O的普通方程為x2+y2=1，設點（0，-）為C，如圖1所示，連接OP，由于P是AB的中點，則有OP⊥AB.

即x2+y2+y=0，而當點P是O點時，也適合以上方程.

方程x2+y2+y=0表示圓，與圓x2+y2=1的公共弦所在的直線方程為y=-1，

點評：通過平面幾何中的垂徑定理，利用解幾法中的直線的斜率公式，將垂直關系轉化為直線的斜率關系來確定對應的P（x，y）的軌跡方程，根據兩圓相交弦所在的直線方程并結合圖形直觀地來確定參數y的取值范圍，進而把對應的普通方程轉化為對應的參數方程即可解決.

（2）方法3：

由題知⊙O的普通方程為x2+y2=1，設點（0，-）為C，如圖1所示，連接OP，由于P是AB的中點，則有OP⊥AB.

設P（x，y），由|OP|2+|PC|2=|OC|2，可得x2+y2+x2+（y+）2=（）2，

即x2+y2+y=0.

方程x2+y2+y=0表示圓，與圓x2+y2=1的公共弦所在的直線方程為y=-1，

點評：通過平面幾何中的垂徑定理，利用解幾法中的勾股定理公式，根據兩點間的距離公式來確定對應的P（x，y）的軌跡方程，并結合兩圓相交弦所在的直線方程以及圖形直觀地來確定參數y的取值范圍，進而把對應的普通方程轉化為對應的參數方程即可得以解決.

（3）方法4：

由題知⊙O的普通方程為x2+y2=1，設點（0，-）為C，連接OP，由于P是AB的中點，則有OP⊥AB.

即x2+y2+=0.

點評：通過平面幾何中的垂徑定理，利用解幾法中的圓的方程的確定，結合圓的標準方程來確定對應的P（x，y）的軌跡方程，并結合點P在⊙O內直觀地來確定參數y的取值范圍，進而把對應的普通方程轉化為對應的參數方程即可得以解決.

五、總結分析

其實，從以上眾多的破解方法中可以充分感受到中點弦問題的魅力，這也是高考中一個經常考查的熱點問題.實際上，充分挖掘課本知識，感受教材中所選用的例題、練習題的底蘊，可以很好地拉近習題與高考之間的距離，并架起相應的橋梁，這也是平時數學教學與學習的一個關鍵所在.W