以題解題 鏈接與賦能

☉福建省福鼎市教師進修學校 許可雄

解決問題是數學學習的核心組成部分.但有些老師為了提高學生的解題能力，不考慮質量和效率地讓學生進行機械解題，試圖通過題海戰術來訓練學生的能力，不僅耗費了大量的時間和精力，而且效果并不理想.所謂“以題解題”就是指在解題后主動進行強化題目特征、梳理知識結構、歸納方法規律、探究變式引申、嘗試自主編題，實現知識與問題鏈接、問題與問題鏈接、問題與能力鏈接，實現舉一反三、多題一解、多題歸一，提高解決問題的有效性，實現能力轉移，并提供新的思維創造力.

建構主義學習理論認為：學習是一個雙向過程，通過新知識與舊知識的相互作用，豐富和調整認知結構.以題解題旨在一方面運用舊知識解決新問題，在探究的過程中，將舊知識進行一定地調整或重組，以獲得新的知識和意義，從而不斷增加和構建知識體系；另一方面，在解決新問題時通過類比結構、鏈接知識、探究變式、自主編題，將新舊問題聯系在一起，實現更加快速地解決問題.

一、知識鏈接，尋找發力點

在解決數學問題的過程中，根據問題中給出的信息來源，鏈接到自己的儲備知識，由此展開相關聯想，將問題與知識有機地聯系在一起，使問題與知識彼此之間相互轉移和轉化，充分激活原有的知識鏈，從而形成新的思維鏈，并快速尋找解決問題的方法.教師應教給學生簡單、合理、適合其最近發展區的解題方法，并在原有的基礎上檢索知識、激活知識、提取知識、重組知識，尋求解決問題的發力點，使解題與思維發展同步.解題不斷深入的過程，其實就是知識點之間的聯系與生成對知識結構不斷地調整與補充的過程，也是對數學知識繼續學習的過程.在解題中如何有效地鏈接知識，找到最佳的解決問題的發力點是需要我們去探究與歸納的.

例1（1）已知函數f（x）=lnx-ax在區間［1，3］上有兩個不同的零點，那么實數a的取值范圍是______.

（2）已知函數f（x）=ax（a＞1）的定義域與值域都是［m，n］，那么實數a的取值范圍是______.

（3）若不等式x對于任意實數x恒成立，那么實數a的取值范圍是______.

我們可以將這三個問題做如下轉化：

（2）由函數（fx）=a（xa＞1）單調遞增，可得，即方程ax=x有兩個不等的根，轉化為有兩個不等的根；

（1）定義域（0，+∞）；

（3）在（0，e）上單調遞增；在（e，+∞）上單調遞減.

這些知識的歸納與總結可以幫助學生解決一些問題，在解決問題的過程中，通過仔細審題，找到條件和問題之間的邏輯聯系，并不斷地改造和轉化問題，呈現出問題最清晰的形式，進而快速鏈接到相應的知識，最終尋找到最佳的解題發力點.而解題之后對知識的歸納整理、變式引申、重新組合，豐富了學生的知識體系.知識體系越豐富，知識鏈接就會越迅速，解題方法就會越直接，從而真正做到多題一解，多題歸一.

二、結構類比，突破關鍵點

類比是一種非常重要的數學思想方法.類比的核心是尋找新舊知識之間的聯系點，并將現有的知識、方法和理論應用于解決新問題的過程中.數學中許多公式、定理和法則都可以用類比的方法進行推導，比如相似形與全等形、等差數列與等比數列、平面幾何與立體幾何等方面的知識.同樣，為了進一步加深學生對解決問題的理解，教師可以在解決問題的過程中引導學生對問題的結構進行類比，使用已學的知識去解決未知的問題，使用簡單直接的經驗來解決復雜的問題，從而提高學生解決問題的能力和邏輯思考的能力.請看下面三個題目：

圖2

例2在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，則成立，類比此性質，如圖2，在四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PD⊥平面ABC于點D，則可得到的結論是______.（答案是）

例3在△ABC中，如果三邊的長分別是a，b，c，內切圓的半徑為r，則△ABC的面積為（a+b+c），類比上述命題，在四面體中，若四個面的面積是S1，S2，S3，S4，內切球的半徑為R，則四面體的體積是______（.答案是：V=

例4如圖3，在△ABC中，內角平分線AD分線段BC所成的比BD：DC=AB：AC，類比此性質，如圖4，在三棱錐A-BCD中，若平面DCE平分二面角A-CD-B，且與棱AB相交于點E，則有______.

這三個題目都是平面幾何類比空間幾何，在知識的結構、邏輯的推理上都是相類似的，而且有很多的可比性，故可以用類比的方法來解決問題.用同樣的方法我們可以去解決以下這道數列問題：已知在等差數列{an}中，如果a9=0，那么a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a17-n（n＜17，n∈N*）成立.類比等比數列{bn}，如果b10=1，可以得到的結論b1b2b3…bn=b1b2b3…b19-n（n＜19，N∈N*）.

當我們面對一個數學新問題時，關鍵是要尋找解題最直接的思路.通過與現有的知識聯系起來，類比兩個問題結構的相似點，想辦法聯想到曾經做過的、熟悉的、類似的問題上來思考，將現有的知識遷移到新問題之中，把已有問題的解決方法移植過來，為所要解決的問題指引方向.

三、變式探究，拓展發散點

將變式探究納入數學教學有助于加深對知識的理解，從而提高學生的思維能力.在數學教學中，不斷地轉換表現形式，從不同角度暴露出知識與問題的本質，揭示不同知識點之間的內在聯系，引導學生繼續探索，從而發現學生的認知失衡，幫助學生發現問題、分析問題并解決問題，讓學生在解決問題時掌握問題的本質特征，找到解決類似或相似問題的思路和方法.同樣，數學問題的解決方案也不能僅僅滿足于問題，應該善于在解決問題后重新思考，將條件進行變式或將條件結構固化，以及探究原問題的逆問題等.通過這樣的探究，可以極大地提高解題的興趣與效率，進一步拓展學生思維的發散點.

例5若函數f（x）在R上可導，且滿足f（x）-xf′（x）＞0，則（ ）.

A.3f（1）＜f（3）B.3f（1）＞f（3）

C.3f（1）=f（3）D.f（1）=f（3）

解 ：由于（fx）滿足（fx）-xf ′（x）＞0，則0恒成立，因此在R上是單調遞減函數.所以，即3（f1）＞（f3）.故選B.

這道題目在導數應用的教學中比較常見，而一般老師講過也就結束了，并沒有進行過多的變式探究，當學生碰到以下這道題目：

例6若函數f（x）在R上可導，滿足f（x）＞f′（x），且f（0）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為______.

對于這道題目很多學生感到束手無策，從題目的條件看很簡單，但與問題聯系不明確；總感覺似曾相識，但找不到相似題型與之相匹配，聯系不到相應的知識點來切入.如果老師在講解完例5之后，作如下的歸納：

（1）對于不等式xf（′x）+（fx）＞0（＜0），構造函數F（x）=x（fx）.

（2）對于不等式xf（′x）-（fx）＞0（＜0），構造函數F（x）=

（3）對于不等式f（′x）＞k（＜k）（k≠0），構造函數F（x）=（fx）-kx；

（4）對于不等式xf（′x）-n（fx）＞0（＜0），構造函數F（x）（x0）（n∈N*）；

（5）對于不等式f（′x）+（fx）＞0（＜0），構造函數F（x）=e·x（fx）；

（6）對于不等式f（′x）-（fx）＞0（＜0），構造函數F（x）=

甚至還可以得到更多的結論：

（7）對于不等式f′（x）+kf（x）＞0（＜0），構造函數F（x）=ekx·f（x）；

（8）對于不等式f′（x）-kf（x）＞0（＜0），構造函數F（x）=

而例6的解題借助上述結論（6）可以快速地解決問題.首先將條件中（fx）＞f（′x）移項后得到f（′x）-（fx）＜0，而不等式（fx）＜ex可以轉化為1（其中ex＞0），問題就能迎刃而解.而這種解題后對結論進行整理歸納、提煉引申、變式探究，可以得到更多結論，進而去解決更多問題，從而大大提高了解題的有效性，也訓練了學生思維的發散點.

四、自主編題，提升創新點

通過解決問題，可以鞏固知識點，培養思維技能，增強解決問題的能力.但解題時如果只是就題論題，沒有弄清編題者的出發點與意圖，沒有挖掘題目本身的核心內涵，而只是為了加強對知識的記憶，則無法實現對知識的深層學習，從而無法培養學生的創新思維能力.以單個題目為基礎，深度分析題目鏈接的知識點，系統地研究知識之間的結合點，通過建構知識新體系，不斷改變題目的條件，重新整合條件與問題，從而編寫出更多的新題，賦予思維新能力.自主編題更加關注解題后對知識的引申、思維的重組以及能力的遷移，力求把要研究的題目做細、做透，盡可能提高學生的創新思維能力.

例7已知正數x，y滿足的最小值為______.

解：-5=1，當且僅當x=1時取等號.

很多學生說答案能看懂，但恐怕很難想到.其實大家對于不等式：當x＞0時≥2（當且僅當x=1時取等號），當y＞0時≥4（當且僅當時取等號）并不陌生，而這道題目是由和組合而成的，再將其進行拆分，便可得），將取等號條件x=1賦給前半部分就是條件，而后半部分就是所要求解的問題.當然也可以把取等號條件x=1賦給后半部分，就得到與之“對稱”的另外一道題目：已知正數x，y滿足，則的最小值為______.還可以將式子進行任意拆分，一部分作為已知，另一部分作為目標式，這就是所謂的所給代數式和所求代數式的線性組合，且能夠利用基本不等式求最值的問題.

笛卡爾曾說：每解一題都要成為以后解題的范例.以題解題，鏈接相關知識，賦予思維新能力.教師要引導、訓練學生在解決問題時，把原題鏈接到相關的、相近的或相似的知識中，再進行結構類比、變式探究、自主編題，通過改變或增減某些條件，拓展它們在不同層面的應用，還要探索各個知識之間更多的聯系，以建構出新的、更為龐大的知識體系，使學生對整個關聯知識的認知更加有條理、更加透徹.