巧放縮，妙證明
——一道數列不等式試題的證明

☉安徽省太和縣第一中學 洪 振

證明數列型的不等式問題，由于其交匯性大，構造性強，思維跨度大，需要有較高的放縮技巧，因而充滿思考性和挑戰性，能比較全面且綜合地考查學生的潛能與能力，故一直成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的重要素材與考查場所.破解此類數列型的不等式問題的求解策略往往是通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其式子規律進行恰當放縮，從而得以巧妙證明.

一、問題呈現

【問題】已知數列{an}的前n項和Sn滿足an+1=2Sn+6，且a1=6.

（1）求數列{an}的通項公式；

本題通過數列通項an與前n項和Sn的關系式給出，可以利用變換，較快捷地確定數列{an}的通項公式.而通過數列{a}的通項公式的轉化來確定數列}的特征，進n而確定前n項和Tn的關系式，轉化所要證明的不等式.如何正確通過轉化并利用放縮法來證明不等式＜3是本題的重點與難點，可以通過常見不等式性質加以放縮，也可以借助裂項相消法加以放縮，還可以通過數列的構造或函數的構造得到相應的不等式后再加以放縮，均能有效達到正確放縮的目的.

二、多解證明

解：（1）由已知得，當n≥2時，an+1-an=（2Sn+6）-（2Sn-1+6）=2（Sn-Sn-1）=2an，

可得an+1=3an，

又a2=2S1+6=2a1+6=18=3a1，

所以數列{an}是以a1=6為首項，公比為q=3的等比數列.

證法1：利用“Tn”的單調性放縮.

證法2：利用“糖水不等式”從第二項開始放縮.

證法3：利用“（n≥2）”從第二項開始放縮.

證法4：利用“（n≥2）”從第四項開始放縮.

解法5：利用“（n≥2）”從第四項開始放縮

解法6：利用裂項相消法放縮

點評：借助關系式的轉化與變形，結合放縮并利用裂項相消法加以轉化，進而得以巧妙證明.

放縮法是證明數列型的不等式問題的一種特殊方法，利用放縮法證明數列型的不等式問題時，需要有明確的目標，才能放縮適當，其理論依據是不等式的傳遞性.利用放縮法處理問題時，往往是利用已知的基本不等式（如均值不等式）或某些函數、代數式的有界性、單調性等適當放縮以達到證明不等式的目的，其具體做法要依據數列型的不等式問題的結構來具體確定.W