多角度思維，妙求離心率*
——一道重慶高考模擬題的多解剖析

☉重慶市榮昌中學校 李海堂

在高中數(shù)學中，圓錐曲線離心率的求解一直是熱點問題，也是近年來高考、競賽、自主招生考試中比較常見的一類問題，處理這類問題的關鍵就是準確構建關于基本量a、b、c之間的等量關系.下面結合2019年重慶市高三一模第11題對有關雙曲線求離心率問題加以剖析，通過多角度思維的切入，來巧妙地求解離心率.

題目（2019年重慶市高三一模第11題）已知雙曲線（ ， ）的左右焦點分別為 、，雙曲=1a＞0b＞0F1F2線C與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點為P，∠PF1F2的角平分線與PF2交于點Q，若4|PQ|=3|F2Q|，則雙曲線C的離心率為（ ）.

分析：本題把雙曲線與圓的交點、角平分線及線段長度的關系、角度關系等問題加以交匯，結合了圓錐曲線與解析幾何初步的相關知識，同時把三角函數(shù)的相關知識融合進來，有效地進行了知識的整合，如何巧妙地利用題目中的關系是解決問題的關鍵.根據(jù)本題條件，利用勾股定理、三角函數(shù)、直線與方程、平面向量、平面幾何性質等不同知識模塊中的方法來處理，通過從不同角度的思維來切入，可以收到不錯的解題效果.

思維角度1：設∠QF1F2=θ，PF2=x，結合題目中的關系有∠PF1Q=θ，∠PF1F2=2θ，通過題目條件建立有關三角函數(shù)的等式，并求得tanθ的值，在直角三角形PF1Q中求出|PF1|和|PF2|與a的等量關系，再在直角三角形PF1F2中找出a與c的等量關系，從而求得離心率.

解法1：如圖1所示，設∠QF1F2=θ，|PF2|=x，|F1F2|=2c，則∠PF1Q=θ，∠PF1F2=2θ. 因為在直角三角形PF1F2中，，

又在直角三角形PF1Q中，

又4|PQ|=3|F2Q|，Q在線段PF2上，所以.

又由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=x+2a.

在直角三角形PF1Q中，tanθ以x=（7+3）a.

在直角三角形PF1F2中，，即（x+2a）2+x2=4c2，

所以答案選A.

思維角度2：由已知條件聯(lián)立雙曲線與圓的方程求出點P的坐標，根據(jù)題目條件可得→ → ，0），由向量的坐標運算求出Q點的坐標，又Q點在直線F1Q上，且直線FQ的方程為（x+c），進而得到a與c的1等量關系，從而求得離心率.

又b2=c2-a2，

故答案選A.

思維角度3：連結OP，由解法1知tan，根據(jù)題目中的已知條件可知|OF1|=|OP|，則∠POF2=4θ，從而可以計算出tan∠POF2的值，進而求得sin∠POF2、cos∠POF2的值，故可得P點的坐標為（ccos∠POF2，csin把P點的坐標代入雙曲線方程，進而建立等式并得到a與c的等量關系，從而求得離心率.

圖2

解法3：如圖2所示，連接OP，由解法1知tan，則

則c2＞64a2，所以e2＞64.故e2=64+24，即e=6+2.故答案選A.

思維角度4：連結OP，根據(jù)解法3求得P點的橫坐標為c，又由解法2知P點的橫坐標為，進而建立等式并得到a與c的等量關系，從而求得離心率.

解法4：由解法3可知P點的橫坐標為，又由解法2可知P點的橫坐標為

兩邊同時平方整理可得c4-128c2a2+64a4=0，

以下步驟同解法3.

思維角度5：連結OP，根據(jù)解法3可求得P點的縱坐標為，又由解法2可知P點的縱坐標為，進而建立等式并得到a與c的等量關系，從而求得離心率.

看似一道簡單的雙曲線離心率求值問題，選擇方法不同，運算的難易程度就有較大的區(qū)別.通過認真分析，仔細研究，選擇合適的方法和途徑，從多個不同思維角度來切入，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，真正體現(xiàn)了對知識的融會貫通.通過一題多解，開拓學生的解題視野，有效地促進學生思維品質和創(chuàng)新能力的提升，從而提升學生的數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng).W