厘清教材脈絡 探明解題思路
——平面向量最值問題的解決途徑

☉安徽省淮南市教育體育局中小學教研室 蘇里陽

平面向量兼具“數”和“形”的特點，是溝通代數、幾何與三角函數的有力工具，作為高考必考內容之一備受命題者的青睞，考題一般具有小巧靈活的特點，解法多樣，且魅力獨特.縱覽該部分內容，幾何中的全等、相似、平行、垂直等關系在向量的概念引入后就可以轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積等運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系，因此向量的線性運算具有深刻的幾何意義.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎，向量的坐標運算實際上是向量的代數表示，引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數化，這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生所熟悉的代數運算.向量的數量積把向量的長度和三角函數聯系起來，利用向量數量積可以解決夾角、模長、距離等問題.下面從“數”和“形”兩個角度，分別談談平面向量的最值問題的解決途徑.

一、從“形”的視角

1.圖形法

圖形法是指結合向量的幾何意義并利用圖形表示來解決問題的方法.向量的運算引入后，其工具性作用才能得到充分的發揮，在引進一種向量運算后，總是要考查一下它的幾何意義，向量的線性運算的幾何意義主要是結合平行四邊形和三角形來講述的.正因為向量運算的幾何意義，才使得向量在解決幾何問題時可以發揮很好的作用.

圖1

例1（2018年浙江高考第9題） 已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（ ）.

解法1：由b2-4e·b+3=0，得（b-e）·（b-3e）=0.設b=.所以=0.取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖1，設a=作射線OA，使得，則|a-b|=（|a-2e）.故選A.

解法2：因為b2-4e·b+3=0，所以（b-2e）2=1，|b-2e|=1.把a，b，e的起點作為公共點O，則b的終點在以點C為圓心，半徑為1的圓上，|a-b|就是線段AB的長度.要求|AB|的最小值即求圓上動點B到定直線OA的距離的最小值，也就是圓心C到直線OA的距離減去圓的半徑，因此|a-b|的最小值為1.

本題乍一看讓人無從下手，仔細揣摩題干中的條件b2-4e·b+3=0，可以轉化為兩向量垂直或向量模長為1，然后利用圖形，則其數量關系、位置關系在圖形中一目了然，從而使問題能夠快速且準確地得到解決.

2.基底法

基底法是指利用平面向量的基本定理和向量的線性運算來解決問題的方法，根據題設條件選擇兩個模長和夾角已知或易求的不共線的向量作為基底，將所求向量用此基底表示出來，從而把問題轉化為關于已知向量的計算問題.

例2設平面向量α，β滿足|α+2β|=3，|2α+3β|=4，則α·β的最小值為______.

破解本題的關鍵在于根據向量α+2β和2α+3β的模長已知，選擇=α+2β與=2α+3β作為基底，利用平面向量的線性運算表示出α，β，進而借助向量的數量積的定義式來進行求解.

二、從“數”的視角

1.坐標法

坐標法是建立適當的直角坐標系，將已知條件和所求問題用坐標表示出來，然后將向量問題完全代數化，進而解決問題的方法.向量問題中如果含有具有垂直關系的圖形，或者是考查函數以及與解析幾何相關的問題都可以考慮用坐標法.

例3（2018年天津高考理科第8題）如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，若點E為邊CD上的動點，則A■→E·B■→E的最小值為（ ）.

圖2

圖3

解：由四邊形的特殊性，分別以DA，DC所在的直線為x軸、y軸建立如圖3的直角坐標系，則A（1，0），），D（0，0），又點E在邊CD上，設 E（0，t），且 t∈［0，］，故=（-1，t），=），所以又因為t∈］，所以當時有最小值故選A.

2.數量化

數量化是指已知向量關系式，要求代數式的最值，可以利用數量積運算將向量等式轉化為數量等式，找出變量之間的聯系，進而破解最值問題.

例4平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四邊形ABCD內一點，且AP=1，若，則3x+2y的最大值為______.

三、數與形結合，解題更省力

例5 已知向量a，b滿足|a|=1，且對任意實數x，y，|axb|的最小值為，|b-ya|的最小值為，則|a+b|=（ ）.

解法1：設a=（1，0），b=（m，n），

因為|a-xb|2=（1-xm）2+（-xn）2=（m2+n2）x2-2mx+1，且對任意的x∈R有|a-xb|的最小值為，所以可得，化簡得n2=3m2.同理由|b-ya|的最小值為，得m=±1，所以n2=3.故|a+b|2=（1+m）2+n2=7或3.故答案選C.

所以a·b=1或-1，所以|a+b|2=a2+b2+2ab=7或3，故|a+b|=或.故選C.

平面向量有關最值問題的解題途徑實際上都源于基本的轉化與化歸思想，在平時學習中應予以重視.從整體上把握教材的知識脈絡，通過圖形法、基底法、坐標法、數量化等策略可以有效應對此類題型.只要我們能重視考查知識的來龍去脈，遵循解題的基本規律，抓住平面向量的本質——溝通代數與幾何的橋梁，認真分析已知和所求之間的聯系，多角度地去解讀，并進行對比、分析，反復琢磨，積累更多的經驗就能做到舉一反三、觸類旁通.W