思維在多解中提升，素養(yǎng)在探究中發(fā)展
——一道有關(guān)拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形問題

☉四川省南充高級中學(xué) 胡 敏

拋物線的弦與過弦的兩端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.有關(guān)拋物線的阿基米德三角形在近年高考、自主招生、競賽以及一些模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn)，且背景各異，常考常新，變化多端，有時以選擇題或填空題的形式單獨(dú)出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在解答題當(dāng)中，并與相關(guān)的圓錐曲線問題加以交匯與綜合.了解涉及阿基米德三角形的一些知識，對于解決問題很有幫助，也可以在很大程度上拓展知識面.

一、問題呈現(xiàn)

問題（2019屆四川省成都市高三模擬·16）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l，l，且l，l相交于點(diǎn)P，則的最小值為______.1212

本題中對應(yīng)的△PAB就是一個特殊的阿基米德三角形.常規(guī)的破解方法是利用函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化法來處理，即設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線C聯(lián)立并化簡得x2-4kx-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4，對x2=4y兩邊求導(dǎo)得y′=x，故切線PA的方程為（x-x1），切線PB的方程為（x-x），聯(lián)立可解得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入2，最后利用導(dǎo)數(shù)法、均值不等式法等方法來確定最值.

二、試題解析

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

結(jié)合拋物線的定義可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4，

對x2=4y兩邊求導(dǎo)可得，故切線PA的方程為，切線PB的方程為

解法1：（導(dǎo)數(shù)法：涉及含參的函數(shù)問題，通過換元思維來構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零所對應(yīng)的零點(diǎn)即函數(shù)極值點(diǎn)來確定相應(yīng)的最值問題，是解決含參函數(shù)最值的常見思維.）

解法2：（均值不等式法：對于含參的函數(shù)問題，通過相應(yīng)代數(shù)式的配湊，結(jié)合代數(shù)式的特征，借助三次均值不等式的應(yīng)用來確定對應(yīng)的最值問題.利用均值不等式確定最值時，要注意對相應(yīng)的代數(shù)式進(jìn)行合理且正確的配湊與轉(zhuǎn)化，這也是解決問題的關(guān)鍵所在.）

點(diǎn)評：破解此類問題常規(guī)的思維方式就是通過設(shè)出對應(yīng)的直線方程，利用直線與拋物線的位置關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)與方程的思想求解對應(yīng)的弦長、直線方程以及其他相關(guān)的問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法、三角函數(shù)法、基本不等式（或均值不等式）法等來確定其最值，從而得以破解.

三、模型歸納

其實(shí)，以上過焦點(diǎn)的弦所對應(yīng)的阿基米德三角形是一個更為特殊的三角形.過拋物線C的焦點(diǎn)F作拋物線C的弦，與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，那么△PAB就稱為阿基米德焦點(diǎn)三角形.

該阿基米德焦點(diǎn)三角形有以下幾個特征：

（1）P必在拋物線C的準(zhǔn)線上；

（2）△PAB為直角三角形，且∠P為直角；

（3）PF⊥AB（即符合射影定理）.

利用以上阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，可以更加快速且簡捷地來處理以上問題.

分析1：（焦點(diǎn)弦性質(zhì)法1：設(shè)出直線AB的傾斜角θ，借助拋物線的極徑公式確定|AF|與|BF|的代數(shù)式，結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)并通過直角三角形的射影定理來建立相應(yīng)的關(guān)系式，從而確定|PF|的代數(shù)式，再結(jié)合均值不等式的應(yīng)用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法1：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，不失一般性，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)

由阿基米德三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，

結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=即，那么

分析2：（焦點(diǎn)弦性質(zhì)法2：設(shè)出|AF|=m，|BF|=n，結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)并通過直角三角形的射影定理來建立相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而得到|PF|2=|AF·||BF|=mn，通過拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)的變形與轉(zhuǎn)化得到m+n=mn，進(jìn)而通過均值不等式的應(yīng)用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法2：由阿基米德三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，

設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n，

結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=mn，

則有|AB|=|PF|2=mn，

即mn=16時取等號，

點(diǎn)評：有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)的結(jié)論是我們比較熟悉的，通過這些結(jié)論并結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)，可以有效提升解題速度，提高解題效益.

四、總結(jié)歸納

其實(shí)，除了在拋物線中存在阿基米德三角形及其相關(guān)的結(jié)論外，橢圓與雙曲線中也有類似的阿基米德三角形問題.綜合而言，在圓錐曲線中都存在著對應(yīng)的阿基米德三角形，圓錐曲線的弦與過弦的兩端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形還有很多其他的性質(zhì)，可以通過網(wǎng)絡(luò)查找一些相關(guān)的性質(zhì)，對于發(fā)展與拓展學(xué)生的知識面與思維很有幫助，從而真正地提升深入學(xué)習(xí)的寬度與深度，提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì).F