用“數(shù)學(xué)期望”來決策

☉江蘇省啟東中學(xué) 龔凱宏

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率的自然延伸，離散型隨機(jī)變量的“決策”類應(yīng)用題，以其貼近實(shí)際生活的題目為背景，成為近年來高考的熱點(diǎn)，這類試題的綜合性強(qiáng)，應(yīng)用性廣，情景新穎，有力地考查了學(xué)生在新情境下分析問題和解決問題的能力.本文擷取幾例，談?wù)勅绾谓鉀Q這類問題.

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與固定值比較

例1（江蘇省啟東中學(xué)2017高三模擬題）呂四漁港某漁船對(duì)下周是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可通過正常捕魚獲得收益8000元，若出海后天氣不好，將因徒勞往返而損失2000元，若不出海不論天氣好壞都要承擔(dān)500元的損失費(fèi)，據(jù)預(yù)測(cè)下周是好天氣的概率為0.4，壞天氣的概率為0.6，問該漁船應(yīng)如何作出決策（即選擇是否出海）？

分析：是否出海的決策，其主要依據(jù)是經(jīng)濟(jì)效益的高低，由題意知：不出海的收益是-500元，是確定的；而出海的收益取決于天氣的好壞，只要求得出海的收益的數(shù)學(xué)期望（即均值）并作出比較，便能作出決策.

解：設(shè)X是出海的收益數(shù)，由題意可得概率分布為

可求得出海的收益的數(shù)學(xué)期望值為：

E（X）=8000×0.4＋（-2000）×0.6=2000（元）；

因?yàn)镋（X）=2000元顯然高于不出海的收益-500元，

故該漁船下周應(yīng)選擇出海.

評(píng)注：本題是一道基礎(chǔ)題，主要考查學(xué)生對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用能力，題目背景新穎.天氣的好壞是一個(gè)不確定因素，合理的決策取決于最好的收益，利用求出收益的數(shù)學(xué)期望來解決實(shí)際問題.

二、兩組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望間比較

例2（2018南通市高三數(shù)學(xué)學(xué)科基地測(cè)試）某手機(jī)大賣場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)1000元便可獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為，中獎(jiǎng)后商場(chǎng)返還顧客現(xiàn)金1000元.小李購(gòu)買一臺(tái)價(jià)格2400元的手機(jī)，只能得到2張獎(jiǎng)券，于是小李與同事小王商量決定補(bǔ)償50元給同事小王，讓小王買了一臺(tái)價(jià)格600元的天翼手機(jī)，這樣小李可以得到3張獎(jiǎng)券，同行的小張認(rèn)為小李這樣不劃算.請(qǐng)問小李這樣出資50元多得到一張獎(jiǎng)券，到底是否劃算？請(qǐng)說明理由.

分析：解決本題的關(guān)鍵是：小李若出資50元?jiǎng)t得3張獎(jiǎng)券，若不出資50元?jiǎng)t得2張獎(jiǎng)券，對(duì)小李實(shí)際出錢數(shù)這兩組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行比較.

解：設(shè)小李出資50元抽獎(jiǎng)后的實(shí)際支出為X（元）；不出資50元抽獎(jiǎng)后的實(shí)際支出為Y元.

那么X的可能取值為：-550，450，1450，2450；Y的可能取值為：400，1400，2400.

這樣X的分布列為：

則小李出資50元抽獎(jiǎng)后實(shí)際支出的數(shù)學(xué)期望為E（X），

則小李不出資50元抽獎(jiǎng)后實(shí)際支出的數(shù)學(xué)期望為E（Y），

顯然E（X）＜E（Y），

因此，小李出資50元增加一張獎(jiǎng)券是劃算的.

評(píng)注：本題是對(duì)兩組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行比較，從而選優(yōu)的一類實(shí)際應(yīng)用題，這類題在各類考試中比較常見.正確分辨兩組隨機(jī)變量，并計(jì)算出它們的概率分布是解決這類問題的前提.

例3在某學(xué)校組織的一次籃球投籃比賽中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第3次，然后計(jì)算得分作為比賽成績(jī).已知某同學(xué)在平時(shí)的訓(xùn)練中在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2，且該同學(xué)先在A處投一球，以后都在B處投，用X表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練的總分，其中P（X＝0）＝0.03.現(xiàn)該同學(xué)有兩種參加方案：甲方案是先在A處投一球，以后都在B處投；乙方案是只在B處投籃.根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練成績(jī)?cè)撏瑢W(xué)應(yīng)選擇哪種方案？

分析：解決本題的關(guān)鍵是：先求出該同學(xué)在B處的命中率，然后分別求出這兩種方案中得分的數(shù)學(xué)期望，通過比較兩種方案各自的數(shù)學(xué)期望，再?gòu)闹羞x擇合適的方案.

解：由題設(shè)知，“X＝0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”，

因?yàn)閝1＝0.25，所以解得q2＝0.8.

因此甲方案的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.

如果用乙方案：

因此乙方案的數(shù)學(xué)期望E′（X）＝0.008×0＋0.096×2＋0.896×4＝3.776.

因?yàn)镋′（X）＞E（X），即乙方案的平均得分更高.

所以在比賽中該同學(xué)應(yīng)選擇使用乙方案.

評(píng)注：本題是關(guān)于離散型隨機(jī)變量的一道綜合題，題中的已知條件沒有直接給出在B處的命中率，要先求在B處的命中率，才能求出兩組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，通過對(duì)數(shù)學(xué)期望進(jìn)行比較，從而解決選優(yōu)的一類實(shí)際應(yīng)用題.

三、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與函數(shù)結(jié)合

例4（2009南通市第二次調(diào)研測(cè)試）某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為1，2，…，12）；設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元.如銷售不出，則每臺(tái)每月需花保管費(fèi)100元.問電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使月平均收益最大？

分析：解決每月初購(gòu)進(jìn)冰箱的臺(tái)數(shù)，取決于月收益的數(shù)學(xué)期望，又因?yàn)槊吭率找媸请S機(jī)臺(tái)數(shù)ξ的分段函數(shù)，所以本題的關(guān)鍵是列出收益關(guān)于隨機(jī)變量ξ的函數(shù)關(guān)系式.

解：設(shè)x為電器商每月初購(gòu)進(jìn)的電冰箱的臺(tái)數(shù)，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況.

于是電器商每月獲益的均值即數(shù)學(xué)期望為：

因?yàn)閤∈N*，所以當(dāng)x=9或x=10時(shí)，數(shù)學(xué)期望最大.

答：電器商每月初購(gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱時(shí)收益最大，最大收益為1500元.

評(píng)注：本題是通過求離散型隨機(jī)變量均值以解決實(shí)際問題，本題的一個(gè)“亮點(diǎn)”是巧妙地將概率知識(shí)與二次函數(shù)融合起來，考查了離散型隨機(jī)變量的概率、均值、分段函數(shù)以及二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)的最值等知識(shí)點(diǎn)，既考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)又考查了考生的邏輯思維能力.

數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量的平均水平，是解決“決策”類實(shí)際應(yīng)用題的“衡量標(biāo)準(zhǔn)”.F