對一道三角形問題的多解探究

☉江蘇省張家港市崇真中學 陳 斌

在近年的各種類型的考試中，經常會碰到涉及三角形面積及其相關問題的最值或取值范圍問題.此類問題往往前景活潑多樣，而且解答難度較大，解決問題的思維方式多變，解決方法有時也多種多樣.因此一直備受命題者的青睞.

一、問題呈現

例題在面積為2的△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，則a2+2b2+c2的最小值為______.

本題通過三角形面積的給出，進而求解三角形的三邊相應的代數關系式的最值.解決問題時可以從“數”的角度入手，也可以從“形”的角度入手，以及數與形的有機結合.題目非常簡單，入手反而比較難，中間涉及的知識點也不少，是一個融合多個知識點、多種思想方法的創新題，可以非常有效地考查知識點的掌握，而且還有助于數學學科素養的培養.

二、多解思維

思維角度1：利用三角形的面積公式表示出ac，結合余弦定理將a2+2b2+c2轉化為相應的三角關系式，利用關系式 的幾何意義，借助直線與圓的位置關系，通過平面解析幾何方法加以數形結合，利用直線與圓的相切并結合點到直線的距離公式來確定其最值情況，進而得以求解代數式的最小值.

解法1：由△ABC的面積S=acsinB=2，可得，結合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac·表示單位圓x2+y2=1（x＞0）上的點P（sinB，cosB）與定點A（ 0）的連線的斜率.

結合圖形可知，當直線PA與單位圓x2+y2=1（x＞0）相切時，直線PA的斜率取得最大值，此時設直線PA的方程為＜0），即2kx-2y+3=0，則有解得

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度2：通過建立平面直角坐標系，確定A、C點的坐標并設出點B的坐標，利用三角形的面積公式確定點B的縱坐標，并利用兩點間的距離公式的應用與轉化得到a2+2b2+c2的關系式，通過轉化并結合不等式的性質加以放縮變形，然后利用基本不等式來確定相應代數式的最小值即可.

圖2

解法2：以AC所在直線為x軸，AC的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖2所示，則），設B（x，y）（不失一般性，假定y＞0）.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案

思維角度3：利用三角形的面積公式表示出ac，結合余弦定理將a2+2b2+c2轉化為相應的三角關系式，利用關系式來設置對應的參數k，結合分式的轉化并利用三角函數的輔助角公式來確定其最大值，進而求解參數k所滿足的不等關系式，代入原不等式中并綜合不等式的性質來確定所求代數式的最小值即可.

解法3：由△ABC的面積acsinB=2，可得ac=

結合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac（3-2cosB）

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度4：結合平面幾何作圖，過點B作BD⊥AC，利用三角形的面積公式得到，并設AD=x，CD=y，結合勾股定理的應用來轉化相應的代數式，并結合基本不等式的應用來確定相應的最值，進而得到所求代數式的最小值.利用平面幾何法來處理，關鍵是對相關線段的設置及轉化，在這里勾股定理與基本不等式起到非常重要的作用.

解法4：如圖3，過點B作BD⊥AC，垂足為D.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案

思維角度5：利用三角形的面積公式表示出acsinB=4，結合余弦定理將a2+2b2+c2轉化為相應的三角關系式，先通過基本不等式得到6ac-4accosB，再利用系數的轉化與配對并結合柯西不等式來轉化，通過acsinB=4的代入來確定所求代數式的最小值.利用柯西不等式法處理比較簡單，但需具備較強的轉化意識，特別是相關常數的轉化及配湊，具有較高的目的性與熟練的運算技巧，特別是能巧妙地利用系數之間的關系加以處理與應用.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度6：直接利用三角形結論：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，面積為S，且x，y，z為正實數，則有xa2+可以非常有效并快捷地解決此類三角形三邊的線性平方和關系式與相應的面積之間的不等關系式問題，進而有效地求解相應的最值問題.利用三角形的結論法來進行處理與轉化，可以簡單快捷地得到相應的結論，但必須增加相關的知識拓展與掌握能力.

解法6：利用三角形的結論：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，面積為S，且x，y，z為正實數，則有xa2+yb2+zc2≥

由題知S=2，取x=1，y=2，z=1.

利用以上結論可得a2+2b2+c2≥

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

總結：通過以上不同的方法，充分利用平面解析幾何、平面直角坐標系、三角函數、平面幾何等來進行有效的處理，也可以利用一般性的三角形的結論來處理，從而給解決問題帶來了無限的方便與亮點.解決此類問題總的指導思想是可以從“數”的角度入手，利用三邊代數式的轉化，進而利用基本不等式以及解三角形中的相關公式來處理與應用；還可以從“形”的角度入手，以解三角形為基本切入點來進行轉化，并結合平面幾何的性質、平面解析幾何等數形結合思想來處理與應用.F