剖解立體幾何，探究解題方法

☉江蘇省揚州市邗江區公道中學 葛 艷

☉江蘇省揚州市邗江區公道中學 王 雷

立體幾何是高中數學的重難點內容，在歷年高考中均占有一定的分值，學習和掌握立體幾何問題的解法對于學生空間思維的培養與邏輯運算的強化有著一定的幫助，本文將以一道立體幾何壓軸題為例，開展試題解讀及多解探析.

一、真題再現，試題解讀

考題（2018年全國卷Ⅲ第19題）如圖1所示，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C（D所在的平面互相垂直，M是CD上異于C，D的點.

圖1

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）當三棱錐M-ABC的體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

解讀：本考題是高考典型的立體幾何壓軸題，考題有兩問：第（1）問求證面面垂直，第（2）問求解在特定條件下二面角的正弦值.均屬于立體幾何的常見問題，主要考查學生識別空間幾何的結構特征、理解面面垂直的證明定理以及二面角等相關知識.考慮到立體幾何問題的求解過程需要學生提煉圖形特征，推理幾何條件，開展問題的綜合計算分析，因此對學生的空間想象、邏輯推理和數學運算能力要求較高.同時求解該類問題需要學生采用一些數學思想方法，合理利用數形結合、化歸與轉化思想來簡化分析過程.

二、試題剖析，多解呈現

考題的兩問均屬于立體幾何的代表性問題，問題的求解具有一定的思路：需要根據幾何特征選取不同的解題視角，從定理出發來構建具體的模型，基于模型來探尋解題條件，并最終完成證明或求解.

1.幾何法破解面面垂直

第（1）問求證面面垂直，可以采用常規的幾何法，且有以下兩種解題思路.

思路一：提取相關面中的線線垂直條件，基于線面垂直的判定定理來完成線面垂直的證明，然后基于面面垂直的判定定理來構建面面垂直，思維導圖如圖2所示.該思路的難點在于如何證明問題中的線面垂直，證明時需要充分挖掘問題中所隱含的垂直關系，由平面幾何的線線垂直入手來完成證明.

圖2

解題步驟：由已知條件可知平面CDM⊥底面ABCD，由于DM?平面CDM，在平面ABCD上的射影在線段CD上，且CD⊥BC，所以DM⊥BC.如圖3所示，連接CM，由于CD為半圓的直徑，點M位于圓弧上，則∠DMC=90°，即DM⊥CM.由即可證DM⊥平面BMC.而，DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC，證畢.

圖3

思路二：基于面面垂直的定義：若兩個平面的二面角為直二面角，則這兩個平面互相垂直.因此可以根據上述面面垂直的定義來構建解題模型，首先確定二面角的平面角，然后分析其平面角的角度，進而完成證明.該思路的難點在于構建二面角的平面角，可通過繪制平面的交線來獲得.

圖4

解題步驟：如圖4所示，過點M作直線m，使得m∥AD，根據線面平行的性質可知線m是平面ADM與平面BMC的交線，即平面ADM∩平面BMC=m.進一步分析可知MC⊥m，DM⊥m，所以∠DMC就是二面角D-m-C的平面角，根據定理“直徑所對的圓周角為直角”可得∠DMC=90°，所以平面AMD⊥平面BMC，證畢.

2.多視角構建二面角

第（2）問求解三棱錐M-ABC的體積最大時，平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值，實際上該問可以拆分為兩問：①三棱錐M-ABC的體積最大時的情形；②兩平面所成二面角的正弦值（“無”棱二面角）.根據第①問的體積最大的條件可以確定圓上點M的位置，然后采用幾何中對應的方法來構建二面角.

需要分兩步進行：第一步三棱錐M-ABC的體積等于△ABC的面積與點M到底面距離乘積的三分之一，即×h，其中S為固定值，因此三棱錐M-△ABCABC的體積大小僅受h大小的影響，直接體現在點M到直線CD的距離上，因此當點M與圓心O的連線MO⊥CD時，h取得最大值，此時三棱錐的體積最大.對于第二步的二面角的構建可以采用不同的解題方法，主要有幾何法、向量法和射影面積法三種，對于不同的方法存在不同的難點和轉化思路，下面對幾何法與射影面積法進行具體探究.

方法一：幾何法.

利用幾何法求解二面角問題，考慮到面MAB與面MCD不存在交線，因此所成的二面角屬于“無”棱二面角，對于該類二面角，解題的關鍵是確定兩個平面所成的交線，后續在構建二面角的平面角時，具體為“四字”步驟——“作，指，證，求”，即首先作輔助線，然后指出二面角并加以證明，最后求解二面角.

解題步驟：MO⊥CD時三棱錐M-ABC的體積最大.過點M作直線EF，使得EF∥DC，則有OM⊥CD，由線面平行的性質可確定EF就為面MAB與面MCD的交線，即EF是二面角的棱，取AB的中點P，連接PM、OP，則PM⊥EF，可證得∠PMO就為所求二面角的平面角.在Rt△MOP中，MO=1，OP=2，MP=，所以sin∠PMO即三棱錐M-ABC的體積最大時，面MAB與面MCD所成二面角的正弦值為

方法二：射影面積法.

求解二面角的正弦值時可以考慮先求其余弦值，然后再轉化，而求解余弦值時可以借助求圖形的射影面積的方式，具體公式為S′=S·cosθ，其中S′為圖形在另一平面上的射影面積，S為該圖形的原面積，θ為原圖形所在平面與射影平面所成二面角的平面角.在求解時可以利用垂直、平行的方法構建射影圖形，進而求出射影圖形的面積，然后根據面積的比值，求解出所成二面角的余弦值.

解題步驟：由于AD∥BC，平面DMC⊥平面ABCD，則△MCD就為△MAB在平面MCD上的投影.設二面角的平面角為θ，則cos，故sin，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值為

三、解后反思，教學建議

本考題是高中數學常見的立體幾何壓軸題，上述所呈現的解法是求解該類問題最常見的方法，總體上可以歸結為幾何與代數兩類解題視角，其解題過程中策略的構建思路具有一定的啟示意義，下面將進一步開展反思總結.

1.關注問題特點，總結解題規律

上述考題中的兩問具有一定的難度梯度，第（1）問求證面面垂直只需要結合幾何定義，利用對應的幾何定理來完成即可，相對而言較為簡單.考題的難度主要集中在第（2）問的二面角的分析上，所給的兩平面之間沒有明顯的交線，屬于“無”棱二面角問題.上述對于該特殊問題呈現了三種解法思路，其中的幾何法、向量法和射影面積法也是求解“無”棱二面角問題最為有效的方法.幾何法需要化“無棱”為“有棱”；而向量法則需要充分利用圖形中的面面垂直的關系來構建空間坐標系，從而簡化求解過程；而射影面積法中的射影圖形的構建可以結合兩線平行或垂直的特性完成.教學中需要教師引導學生關注圖形特點，領悟方法，并形成知識規律，從本質上掌握立體幾何探究突破的策略.

2.關注思想方法，開展思想教學

高考立體幾何問題肩負著知識考查和能力考查的雙重使命，其中能力考查最為重要的一項是對學生的解題思維和數學思想的考查，這也是數學解題的精華所在.實際上數學的解題過程就是問題轉化、思路構建的過程，在這個過程中需要學生充分調動數學思維，結合對應的思想方法開展問題分析.如上述考題涉及數形結合和轉化化歸思想，正是在這兩種思想的融合下完成了問題的拆解和對應的剖析，因此可以說數學思想是指導解題的靈魂，也是開展解題教學需要重視的內容.在實際教學中，需要教師結合具體的教學內容，滲透數學的思想方法，指導學生掌握數學思想的解題內涵及技巧，通過學習解題來發展數學思想，進而拓展解題思維.